théorème de Stone Weierstrass

skyrmion

Bonjour,

Est-ce que la démo ci-dessous basée sur le théorème de Stone-Weiestrass est correcte ? (j'ai commencé par rappeler le théorème) Merci!


\noindent{\bf Propriété : } Soit $\Delta$ un sous-ensemble non vide compact de $\mathbb{R}^k$ et ${\cal{A}}$ une algèbre non vide de $C(\Delta,\mathbb{C})$ telle que
\begin{enumerate}
\item ${\cal{A}}$ sépare les points de $\Delta$,
\item ${\cal{A}}$ contient les fonctions constantes sur $\Delta$,
\item Si $f\in {\cal{A}}$ alors $\overline{f}\in {\cal{A}}$, où $\overline{f}$ est la fonction conjuguée complexe de $f$.
\end{enumerate}
Alors, $Cl({\cal{A}})=C(\Delta,\mathbb{C})$, où $Cl({\cal{A}})$ désigne la fermeture en norme uniforme de ${\cal{A}}$.\\

Soit $\mathbb{P}([0,2\pi])$ l'ensembles des polynômes trigonométriques complexes sur $\Delta=[0,2\pi]$, c'est à dire les fonctions de la forme $p(x)=\sum_{k=-n}^n c_k e^{ikx}$, $x\in [0,2\pi]$. \\
On vérifie que :
\begin{enumerate}
\item $\mathbb{P}([0,2\pi])$ est une algèbre de $C([0,2\pi],\mathbb{C})$,
\item $\mathbb{P}([0,2\pi])$ sépare les points de $[0,2\pi]$,
\item $\mathbb{P}([0,2\pi])$ contient les fonctions constantes sur $[0,2\pi]$.
\end{enumerate}
Le théorème de Stone-Weistrass complexe permet donc de conclure que la fermeture en norme uniforme de $\mathbb{P}([0,2\pi])$ est exactement $C([0,2\pi],\mathbb{C})$ (en particulier $\mathbb{P}([0,2\pi])$ est dense dans $C([0,2\pi],\mathbb{C})$). \\

\medskip

Soit $f\in C_{2\pi}(\mathbb{R},\mathbb{C})$. Alors la restriction $f_{rest([0,2\pi])}$ de $f$ à $[0,2\pi]$ est une fonction de $C([0,2\pi],\mathbb{C})$.
Donc il existe une suite d'éléments $p_n$ de $\mathbb{P}([0,2\pi])$ telle que $p_n\to f_{rest([0,2\pi])}$ uniformément sur $[0,2\pi]$. Pour tout $x\in [2k \pi, 2(k+1)\pi],$ on a (a priori les élèments de $\mathbb{P}([0,2\pi])$ ne sont définis que pour $x\in [0,2\pi],$ mais rien n'empêche de prendre $x\in\mathbb{R}$ dans $p(x)=\sum_{k=-n}^n c_k e^{ikx}$. Lorsque $x\in\mathbb{R}$, on notera $p^*$ le polynome correspondant bien que sa valeur coincide avec $p$ en tout $x$.) $$\sup_{x\in [2k \pi, 2(k+1)\pi]} |f(x)-p_n^*(x)|=\sup_{y\in [0,2\pi]}|f(y+2k\pi)-p_n^*(y+2k\pi)| =\sup_{y\in[0,2\pi]}|f(y)-p_n(y)|,$$
où on a utilisé la $2\pi$ périodicité de $f$ et $p_n$. Ainsi
$$\sup_{x\in [2k \pi, 2(k+1)\pi]} |f(x)-p_n^*(x)|=\sup_{y\in[0,2\pi]}|f_{rest([0,2\pi])}(y)-p_n(y)|$$ Le dernier terme est aussi petit que l'on veut puisque par hypothèse la suite $(p_n)$ converge uniformément vers $f_{rest([0,2\pi])}$ sur $[0,2\pi]$. On obtient donc que la suite $(p_n^*)$ converge vers $f$ uniformément sur $\mathbb{R}$ et par suite que $\mathbb{P}(\mathbb{R})$ est dense dans $C_{2\pi}(\mathbb{R},\mathbb{C})$ pour la norme uniforme.


cordialement, sk.

egoroff

Salut,

Je dois être bête mais comment sépares-tu $0$ et $2 \pi$ avec un polynôme trigo ? Sinon "la fermeture en norme uniforme de $ \mathbb{P}([0,2\pi])$ est exactement $ C([0,2\pi],\mathbb{C})$ (en particulier $ \mathbb{P}([0,2\pi])$ est dense dans $ C([0,2\pi],\mathbb{C})$)" me paraît redondant ; je mettrai plutôt "c'est-à-dire que" à la place de "en particulier".

skyrmion

Oui, bien sûr il y a un problème pour séparer $0$ et $2\pi$. En fait je dois travailler sur $\mathbb{R}/(2\pi\mathbb{Z}).$ A ce moment là, $0$ et $2\pi$ sont identifiés et il n'y a plus à les séparer.

Ca résout le problème de séparation, non?

Mais après, comment je reviens à $C_{2\pi}(\mathbb{R},\mathbb{C})$?

sk.

egoroff

Oui, mais $\R/2 \pi \Z$ est-il un sous-ensemble de $\R^k$ ?

Cela dit par définition les fonctions de $C_{2 \pi}(\R,\C)$ vérifient $f(0)=f(2 \pi)$, donc il n'y a qu'à vérifier la densité dans l'hyperplan $H$ de $C([0,2 \pi],\C)$ constitué des $f$ telles que $f(0)=f(2 \pi)$.

Titou0

Quelque chose qui m'énerve, y compris dans le cours de ce site...
\lien{http://www.les-mathematiques.net/a/a/e/node8.php3} qui dit que :

"Un corollaire important [de Stone-Weierstrass] est la densité de l'ensemble des polynômes trigonométriques dans l'ensemble des fonctions $ 2\pi$-périodiques continues."

Vu qu'on ne peut pas séparer O et $2\pi$ par des polynômes trigonométriques, j'aimerais bien voir l'argument qui a été tout simplement omis.

Je repose donc la question, y compris de manière plus simple. Si $f$ est continue de $[0;2\pi]$ vers $\R$ (pour simplifier), pourquoi si $f(0)=f(2\pi)$, alors $f$ est limite d'un polynôme réel trigo via une conséquence de Stone ? Je ne vois pas.

marco

Tu peux prendre $A=S^1$ et alors $C(A,\C)$ est isomorphe à l'ensemble des fonctions $2 \pi$- periodiques continues.

Remarque0

Stone-Weierstrass est valable sur un compact quelconque. Par exemple $\R/2\pi\Z$ fait l'affaire.

Remarque0

Comment ai-je pu prendre 2mn10s pour n'écrire que ça ::o

Titou0

Merci pour vos réponses (et pour la correction des majuscules !) : c'est donc bien ce que je pensais, il faut être clair dans l'argument, c'est Stone sur le cercle unité $C$ que l'on peut utiliser. Ce n'est pas Stone sur $[0,2\pi]$.

Reste ensuite à écrire proprement les choses, mais en fait ça va. On peut procéder ainsi :

Si $f$ est continue sur $\R$ et $2\pi$ périodique, on définit une fonction $g$ de $C$ dans $\C$, en posant, pour tout $c$ de $C$, $g(c) = f(x)$ où $x$ est un réel quelconque vérifiant $\text{e}^{ix} = c$. On montre que $g$ est bien définie sur $C$ et qu'elle est continue sur $C$ et on applique Stone à la fonction $g$, ce qui fournit le résultat.

Remarque0

Les démonstrations des cours du site ne sont pas toutes irréprochables, mais ici elle dit juste "un corollaire important, etc.", le théorème étant énoncé juste avant sur $K$ compact quelconque. Il n'est pas dit qu'on l'applique à $K=[0,2\pi]$. C'est un peu rapide peut-être, mais correct.

Amusant, tout en bas de la page : FLEMMARD Elebeau n'y croit pas moi je crois que c'est ok :P

Titou0

Je ne compte pas lancer de débat sur le cours du site qui est ce qu'il est en ce moment.

On pourrait juste améliorer la remarque sur le cas des poly trigo en la mettant sous le th. de Weierstrass (qui est bcp plus simple, pas besoin de changer de compact, pas besoin d'introduire une fonction auxiliaire...), et en disant qu'on applique Stone sur $K = \R/2\pi\Z$ par exemple.

Ca éviterait aux lecteurs, comme moi, de croire naïvement qu'on peut obtenir le résultat par Stone directement - sans compter que c'est utiliser un gros théorème alors qu'on a le th. de Fejer sous la main...