Cercle unité et distance

Bonjour

Mes souvenirs se faisaient de plus en plus durs à remobiliser, je sollicite votre aide.
On considère le cercle unité de $\R ^2$ muni de la topologie induite. Je me souviens que c'est un espace topologique métrisable, mais je suis incapable de retrouver une formule explicite pour la distance.

Je n'ai pas vérifié, mais je pensais que la distance entre deux points du cercle pouvait être définie comme la distance sur la droite réelle de leurs projections stéréographiques. J'ai bon ?

Merci.

[La case LaTeX. :) AD]

Réponses

  • toto a écrit:
    On considère le cercle unité de R² muni de la topologie induite. Je me souviens que c'est un espace topologique métrisable, mais je suis incapable de retrouver une formule explicite pour la distance.

    Je ne comprends pas. Qu'est-ce qui d'après toi cloche avec la distance induite (usuelle) ?

    Ou alors tu parles du cercle épointé (comme tu parles de projection stéréographique) ?
  • Il me semble que la distance induite par celle de R^2 sur le cercle ne donne pas la topologie induite par celle de R^2 sur le cercle non?
  • J'ai compris que tu pensais ça mais je voudrais que tu me dises où tu penses que ça cloche.

    Pour moi, c'est bon (même en général d'ailleurs): fais-je une erreur grossière dans ce qui suit ?

    Un ouvert pour la topologie induite est la trace d'un ouvert sur le cercle.

    La topologie usuelle de R² a une base d'ouverts qui sont les boules (=disques) ouvertes. Du coup la trace des boules ouvertes est une base d'ouverts du cercle (puisque l'union commute à la restriction).

    Comme une boule ouverte est définie directement par la distance usuelle, pour moi ce qui précède montre que ta topologie du cercle est métrisable par la distance usuelle.
  • Hello d'accord avec Barbant,

    (E,d) métrique et A c E

    ''la topologie induite par la restriction de d à A est bien la topologie trace de E sur A '' Pommellet p 31
  • Bon ben j'ai encore perdu une occasion de me taire :D

    En fait, je voulais retrouver ce qu'on appelle la métrique sphérique sur la sphère unité de $\R^3$ et je voulais commencer d'abord dans le cas du cercle unité pour me refaire la main.

    Si quelqu'un pouvait m'aider...
  • En fait, quelle est l'expression explicite de la distance usuelle sur la sphère de Riemann ?
  • Bonjour Toto le zéro.

    Ta question m'a rappelé la lecture de l'excellent ouvrage "Initiation à la géométrie" de D. Lehmann chez puf, le mathématicien, 1988.

    Lehmann, pour définir un espace métrique vérifiant l'hypothèse de l'angle obtus (espace elliptique) muni la sphère~$S_2 \subset \R^3$ de la distance :$$d(A,B) = \arccos(\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB})$$où $A$ et $B$ sont deux points de la sphère.

    Bruno
  • Bonjour,

    Soient x,y deux points du cercle unité,
    $d_1(x,y)$ = distance euclidienne de la corde [xy], et
    $d_2(x,y)$ = distance euclidienne du plus petit arc (xy),

    Ces deux distances sont équivalentes, mais laquelle est la distance induite (usuelle) ?

    Merci.
  • Bonjour BS

    Je dirais que la distance induite c'est d_1, mais que la distance usuelle (enfin sur notre bonne vieille terre) c'est d_2. En effet demande à Alban ou à e=mc3, la distance de Paris à Nouméa est de 20000km et non pas 12800km (approximativement).

    Alain
  • Merci Bruno, c'est un début de réponse :D

    En fait, prenons le problème à l'envers. Je vais peu^t-être dire de grosses bêtises: si je me souviens bien, la sphère de Riemann est une variété riemannienne et donc est bien métrisable. Comment exprime-t-on simplement cette distance entre deux élements z et z' de C "chapeau" ?

    Il y a une bijection ensembliste entre le sphère de riemann et la sphère unité de R^3, et donc cela définit ensuite une distance sur S_2. Comment est-elle explicitement cette distance ?

    Merci
  • Merci Alain, j'hésitais vraiment entre les deux...
  • Toto : Il me semble que le plus court chemin sur la sphère entre deux points $A$ et $B$ sur $S^2$ (en restant sur $S^2$ est égal à l'angle géométrique $(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB})$.
  • Il ne semble pas : si A et B ne sont pas antipodaux, il passe par A et B une seule géodésique qui est l'arc de grand cercle, la distance des deux points sur cet arc est la mesure de l'angle géométrique (que l'on peut multiplier par le rayon de la sphère ce qui ne change rien. On retombe sur le résultat de mon message plus haut pour la sphère unité.

    Bruno
  • Hum d'accord, je vois mieux.

    Maintenant, j'aimerais (si possible) que vous puissiez m'aider à comprendre le lien avec la métrique sur la sphère de Riemann comme décrite ici: http://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_sphere#Metric

    Merci :D
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