Les probas pour un nul...

Bonjour à tous et plus particulièrement aux "probabologues" de ce forum (et ils sont nombreux).

Comme vous le savez peut-être (ou pas) mes connaissances en proba sont très limitées (un peu de théorie de la mesure tout au plus) et j'aimerais quelques explications si possible.

Ma question est simple: pouvez-vous m'expliquer (s'il vous plaît) ce que représentent certaines notions comme une martingale, une chaîne de Markov (et d'autres concepts qui vous viennent à l'esprit et dont il vous ferait plaisir de parler) ? Quand je dis "ce que représentent", je n'attends donc pas une définition mathématique (que j'ai déjà lue et à peu près comprise) mais réellement ce que ces outils sont censés modéliser, d'où vient le fait qu'on ait posé cette définition, et leur intérêt finalement.

Je sais que ce n'est pas simple ce que je demande, mais c'est un peu pour ma culture, un peu pour ma dignité....

$\tau \tau$ le $0$

Réponses

  • Alors, je me lance pour martingales et chaînes de Markov :

    1) Une chaîne de Markov, en gros, c'est une marche aléatoire $X_k$ sur un graphe avec un poids sur chaque arête. Quand je suis en un sommet, je tire au sort l'arête que je vais prendre, plus le poids est gros, plus j'ai tendance à prendre cette arête.

    Les questions qu'on se pose sont par exemple:
    - Va-t-on visiter tous les points?
    - Quelle est la proportion de temps passé en un certain point?
    - Pour $k=10000$, quelle est la loi (à peu près) de $X_k$?

    Les méthodes sont algébriques.

    2) Une martingale, c'est souvent une variable aléatoire de la forme $S_n=X_1+\dots +X_n$, avec les $X_i$ des va i.i.d. d'espérance nulle. Parfois c'est quelque chose de plus compliqué, et on essaie de se ramener à cette situation.

    Le genre de question, c'est
    - que peut-on dire sur $\sup S_k;k\leq n$?
    - quel est le premier instant où $S_n$ vaut 1000?
    - Est-ce qu'en divisant $S_n$ par quelquechose on peut avoir convergence (en loi, p.s.)?

    Les méthodes sont analytiques.
  • Une chaîne de Markov, en gros, c’est la modélisation du comportement (supposé aléatoire) d’un animal. Rappelez-vous le petit chat Neko du Mac classic. À ceci près que les probabilités de changer de comportement dépendent de là où on est.
    En clair et plus proprement, on a un graphe orienté (et de plus, les sens diffèrent a priori) pour lequel la somme des probabilité sortantes d’un nœud vaut 1.
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • Pour moi une martingale c'est un processus (donc un ensemble de v.a. indéxées par le temps) qui vérifie une certaine propriété.

    Cette propriété de "martingale" a un sens intuitif que je vais essayer de t'expliquer avec un exemple concret.

    Prenons un joueur de casino par exemple dont on souhaite étudier le processus de ses gains ou de sa richesse.

    On se place en 0 par exemple.

    Sa richesse sera une martingale, si son espérance de gain en T>=0 pour n'importe quelle échéance E>=0 est exactement sa richesse en T, donc si il joue à un jeu équitable (pour lui et pour le casino).

    Sa richesse en T vu de 0 est donc matérialisée par une variable aléatoire! Et celle de ces gains futur en se plaçant en T également !

    On voit donc poindre le bout du nez d'un objet mathématique connu sous le nom d'espérance conditionnelle !!!


    j'aurais pu prendre un autre exempel avec la position d'une particule mais bon on se refait pas (:P)
  • Lucas: merci de cette réponse, mais je ne sais pas ce qu'est une marche aléatoire (enfin j'en ai une vague représentation, mes quelques restes du cours d'un certain Monsieur A., très fort en proba mais qui a eu des objectifs trop élevés pour nous qui découvrions les probas...)

    Sinon, je vois à peu près ce que cela peut représenter une chaîne de Markov (qui mérite bien sa majuscule). Dans quel domaine cela est-il utilisé ?

    Nico: merci, ça confirme l'image que je m'en étais faite avecv le premier message

    TheBridge: qu'est ce qu'une échéance ? Il me semblait aussi avoir lu qu'on définissait l'espérance conditionnelle avec la notino de martingale ?
  • Une échéance ...

    bon c'est peut-être un peu mal dit mais bon disons plutôt, si tu préfères, un temps T' plus grand que T (T' peut même être un temps aléatoire mais bon ne compliquons pas trop les choses)

    Quant à l'espérance conditionnelle, elle ne se définit pas avec la notion de martingale, c'est l'inverse.

    Sinon ce qu'il faut retenir c'est surtout qu'une martingale c'est un jeu équitable dans le sens que j'ai ( mal ?) défini plus haut.
  • Oui, en fait je voulais bien dire que la notion d'espérance conditionnelle était définie avant (et pas avec) la notion de martingale.


    Cela dit, je ne vois toujours pas pourquoi un jour quelqu'un a eu l'envie de créer cette notion de martingale...
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