Arithmétique avec des classes d'équipotence, légitime ou pas?

Salut à tous les matheux,
Si on note cl(E) la classe d'équipotence d'un ensemble E alors en posant
cl(A)xcl(B)=cl(AxB) il est clair que le résultat de cette multiplication à savoir cl(AxB) ne dépend pas des représentants A et B des deux classes. Ainsi on a bien défini une multiplication dans la collection des classes d'équipotence; cette collection n'a aucune raison d'être un ensemble pas plus que ses éléments les classes qui ne sont pas des ensembles. Est-ce légitime?
Dans la mesure où on admet déjà la multiplication des cardinaux d'ensembles(cardinal d'un ensemble=plus petit ordinal équipotent à l'ensemble), opération définie dans la collection des cardinaux qui n'est pas un ensemble pourquoi ne pas aller plus loin et définir la mutiplication de 2 classes d'équipotence?
L'intérêt de cette arithmétique des classes est qu'elle ne nécessite pas l'axiome du choix alors que l'arithmétique des cardinaux transfinis elle l'utilise dans la définition même du cardinal d'un ensemble.
La jonction entre ces deux arithmétiques étant aisée avec bien sûr l'AC pour pouvoir considérer les cardinaux:
Si note card(A)=Omega(A)=plus petit ordinal équipotent à A on a par définition
Card(A)xcard(B)=Card(AxB) encore noté Omega(A)xOmega(B)=Omega(AxB) qui est une autre façon de dire cl(A)xcl(B)=cl(AxB) car cl(A)---->Omega(A) est une injection vu que Omega(A) et Omega(B) sont respectivement équipotents à A et B alors si omega(A)=Omega(B) on aura A équipotent à B et donc cl(A)=cl(B).
De plus si on note f l'injection précédente c'est un "morphisme" pour les multiplications car f[Cl(A)xcl(B)]=f[cl(AxB)]=Omega(AxB)=Omega(A)xOmega(B)=
F[cl(A)]xf[cl(B)]. f est même une bijection entre les classes et les cardinaux, c'est immédiat.
On peut procéder de même pour l'addition de deux classes. Par définition cl(A1)+cl(A2)=cl(A1x{1}+A2x{2} et Omega(A1)+Omega(A2)=Omega(A1x{1}+A2x{2} l'injection f sera aussi un morphisme pour les additions.
f établit donc un isomorphisme entre les classes et les cardinaux alors que la structure sur les classes est hors AC contrairement à celle sur les cardinaux.


Alors légitime ou pas ? Vos avis me seront précieux.

Réponses

  • Bonjour Guy.

    J'ai été surpris, en lisant ton message, car c'est (à peu près) la définition que j'avais apprise de la multiplication des "nombres cardinaux". Je viens de relire le vieux Kamke "théorie des ensembles", et la seule différence est que pour lui, le nombre cardinal est un représentant quelconque de la classe d'équipotence. Ce qui permet d'être sûr que l'objet existe (la classe d'équipotence est un objet mal défini, qui varie avec l'évolution des mathématique. Un ensemble désigné de la classe est un objet bien défini, qui ne variera plus).

    Par contre, j'aimerais être sûr qu'on peut définir le produit de deux ensembles infinis sans AC.

    Cordialement
  • Bonjour à tous deux.

    Sauf erreur, l'axiome du choix n'intervient que pour le produit d'une famille infinie d'ensembles.

    Bruno
  • Bonsoir tous les deux,
    Bruno a répondu à ta question Gérard. Le produit cartésien de deux ensembles n'a rien à voir avec AC car un couple (x,y) est l'ensemble {x,{x,y}}(de mémoire , à vérifier) donc AxB est défini en compréhension par {(x,y)/x est dans A et y dans B} donc pas d'AC à l'horizon.
    Mais vous ne répondez pas à ma question : est-ce légitime?
    En fait avec un ensemble infini on cherche un témoin de son niveau d'infinitude et sa classe d'équipotence comme son cardinal peuvent servir de témoins, l'un ayant recours à L'AC et pas l'autre.
  • Puisque tu veux vraiment une réponse sur la légitimité de ton calcul :D, il faut se souvenir que les mathématiques sont un espace de liberté ; les seules limites a priori à la légitimité d'une théorie sont sa non contradiction et son intérêt mathématique. Pour la première, je ne pense pas que ce soit une théorie contradictoire si l'on reste précautionneux. Pour l'intérêt de la question, je ne me sens pas compétent pour en juger.

    Bruno
  • bonjour Guy,
    à mon avis c'est légitime, pour autant qu'on ait constamment à l'esprit que :

    - cl(a) n'est pas un ensemble mais une collection, i.e. une formule à une variable libre, x ~ a. Elle appartient donc au langage de la th. des ens., et non à l'univers (les ensembles).

    - tout énoncé où apparaît cl doit être considéré comme l'abréviation d'un énoncé de la th. des ens.
    Exemple : cl(a) = cl(b), c'est l'énoncé Qx(x ~ a <=> x ~ b),
    définir cl(a).cl(b) = cl(a x b), c'est démontrer l'énoncé QyQz(y ~ a et z ~ b => y x z ~ a x b), etc.

    - ne pas se laisser entraîner par les notations, ne pas considérer la collection des classes cl(x), par exemple.

    C'est la démarche adoptée par Cori & Lascar, sauf erreur. D'autres auteurs, Suppes ou Hrbackek & Jech par exemple, préfèrent introduire provisoirement un nouveau symbole fonctionnel K avec l'axiome : K(x) = K(y) <=> x ~ y, qui sera conséquence de AC.

    L'intérêt de ces démarches, car il y en tout de même un :), c'est de pouvoir exprimer les résultats concernant les cardinaux qui se démontrent sans AC. (en particulier ceux qui font intervenir AC, par ex, le th. de Tarski, (pour tout cardinal infini a, a2 = a) <=> AC)
    C'est vrai que d'un point de vue conceptuel (économie des présupposés), c'est plus satisfaisant. Mais ça complique tout de même l'exposition. Qu'est ce qui te dérange ou te fait peur avec AC, Guy ? On sait depuis 60 ans que son introduction laisse inchangés les risques de contradiction de la th. des ens...
  • Merci beaucoup GG pour tes explications tout à fait claires.
    Je te rassure, L'axiome du choix je l'accepte volontiers et j'ai déjà travaillé de manière "violemment" non constructiviste. Non le problème c'est que pour moi pratiquer les maths c'est partir d' hypothèses minimales pour obtenir un résultat maximal tout en utilisant les outils les plus rudimentaires. exemple la preuve construcutive du thm de Cantor-Berstein où on a juste besoin de savoir ce qu'est une injection, une surjection et une bijection.
    A partir de là on peut se demander si l'AC ne s'est pas invité inopinément et sans nécessité dans une preuve même si on accepte cet AC. Actuellement on voit encore traîner des preuves de Cantor-Bernstein en zornifiant, ce qui est inepte.
    Et puis il y a des résultats particulièrement évidents qui apparemment n'arrivent pas (encore) à échapper à la pesanteur logique de l'AC.
    Par exemple qu'une partition d'un ensemble infini ait "moins d'éléments" que l'ensemble n'ait pas de preuve constructive me consterne.
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