Doutes "métaphysiques" avec l'axiome du choix

Salut à tous les matheux,
Toujours des doutes "métaphysiques" avec l'axiome du choix.
Voilà la question qui me turlupine :
Soit une famille d'ensembles non vides Ai indexée par i dans I (infini) et un singleton fixé {1}.
Il est clair que {1} s'injecte trivialement dans tout ensemble non vide en choisissant l'image de 1 parmi les éléments de l'ensemble.
Si on affirme que pour tout i dans I on a {1} qui s'injecte dans Ai a-t-on utilisé l'AC?
Je serais tenté de dire non car pour un i fixé il y a bien au moins une injection de {1} dans Ai et pour les autres i c'est le même problème déjà résolu. Il y aurait utilisation de L'AC si j'avais dû choisir pour chaque i dans I une injection parmi celles qui existent mais ce n'est pas le cas j'ai juste utilisé l'existence d'un telle injection.

Réponses

  • Bonsoir,

    L'axiome du choix n'est pas utilisé lorsqu'on dit : pour tout $i$ il existe une application (nécessairement injective) $\{1\}\longrightarrow A_i$.

    Il est utilisé lorsqu'on dit : il existe une famille $(f_i)$ telle que $f_i$ est une injection $\{1\}\longrightarrow A_i$.

    [latex. Jobherzt]
  • Si je ne m'abuse : une forme equivalente de AC est : tout produit (eventuellement infini) d'ensemble est un ensemble non vide.

    Ce que toi tu affirmes revient exactement à : pour tout $i$, $A_i$ est un ensemble, ce qui est trivialement vrai. Ce que dit AC est : $\prod_{i \in I} A_i$ est un ensemble non vide, ce qui est clairement différent.
  • Bonsoir PB,
    Et merci pour la réponse qui me confirme que la réponse à ma question est non ce qui m'arrange bien.
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