Problème de Logique

Bonjour,

Je suis étudiant en MPSI et je n'arrive pas à comprendre une définition de début d'année sur la logique. Il s'agit de l'implication A -> B.

Par définition, cette implication est vraie si et seulement si A et B sont vraies, ou si A est fausse.

Mais que penser alors de cet exemple : On considère un homme "normal" et on énonce les deux assertions suivantes :
A : L'homme mesure moins de 2,5m
B : L'homme mesure moins de 3m

Les deux assertions A et B sont vraies, alors que l'assertion B->A me semble fausse.

Il y a forcément une erreur grossière dans mon raisonnement, mais je ne trouve pas laquelle. Pourriez-vous m'aider ?

Merci,

Philippe.

Réponses

  • L'erreur de ton raisonnement est que tu donne une interpretation intuitive à $\Rightarrow$. Dans ton esprit, $A \Rightarrow B$ veut dire "A entraine B". C'est souvent dans ce sens qu'on l'emploie, mais d'un point de vue logique "pure" ca n'est pas toujours le cas. Par exemple, la proposition "Je suis un elephant rose $\Rightarrow$ Paris est en France" est une proposition vraie d'un point de vue logique, meme si elle n'a aucun sens.
  • Bonsoir Jobhertz,

    Je te remercie.

    Quelque chose me chiffonne toutefois.

    Il y a quand même parfois un lien entre la définition de l'implication et la fameuse interprétation intuitive qu'on s'en fait ? Sinon, ce serait mal fait, non ?

    Philippe.
  • Bonsoir,

    Je pense qu'on comprend mieux la définition de l'implication quand on voit comme on peut invalider une implication. Dans l'exemple que tu prends, on invalide A -> B si on parle d'un homme anormal qui mesure 2m75. Alors B est fausse et A est vraie.

    "non (A -> B)" veut dire "A et non B". Ca tombe peut-être plus facilement sous le sens que "A -> B" veut dire "(non A) ou B", mais c'est la même chose.

    Et comme jobhertz l'a dit, on a tendance à mettre dans l'implication le sens courant de cause à effet, alors que le calcul propositionnel ne parle pas de causalité.

    Cordialement,

    MC
  • Oui bien sur !!! comme je le dis dans mon precedent message, ce n'est "pas toujours" le cas, mais dans les vrais maths c'est essentiellement dans le sens "intuitif" qu'on l'utilise. Mais de toute facon, dans les "vraies maths", on ne s'amuse pas a connecter des phrases qui n'ont rien a voir ! Donc en resumé, oui ca veut dire ce que tu penses, mais attention a ne jamais perdre de vue la formulation "rigoureuse".

    La ou ca rejoint la forme intuitive, c'est que si P est vrai et Q est fausse, alors $P \Rightarrow Q$ est fausse. Autrement dit, dire que $P \Rightarrow Q$, c'est dire que "si P est vraie, alors Q est forcement vraie aussi", ce qui rejoins bien la definition intuitive (je ne suis pas sur d'etre clair..).
  • Au risque de dire de la m...e, si on prend 2 ensembles A et B, on dit que A est inclu dans B si A est vide ou si tout élément de A est dans B.

    Ca rejoint ce qui a été dit puisque le cas A vide correspond à "A est fausse". Autrement dit on a tendance à dire : A inclu dans B signifie que tout élément de A est dans B et on oublie le cas ou A est vide, comme intuitivement on "oublie" le fait que si la propriété de départ est fausse elle peut impliquer n'importe quoi (de même que le vide est inclu dans tout ensemble).

    Ca me trouble toujours ce lien intime entre logique et théorie des ensembles...

    t-mouss
  • Bonsoir,

    de façon fort formelle, on n'a pas besoin de préciser le cas "A est non vide" (ou alors on n'a pas eu du tout les mêmes définitions !).

    En effet,

    1) en logique "formelle", $A \subset B$ est une abbréviation pour $\forall v (v \in A \Rightarrow v \in B)$ (ou $\Rightarrow$ est l'abbréviation de ... je vous le passe ;) )

    2) "intuitivement", si A est vide, tous les éléments de A sont forcément dans B (trouvez moi un élément qui est dans A et pas dans B !!)

    Cordialement (et en espérant ne pas avoir racconté de bétises),

    Teg
  • Bonjour,

    Pour bien percevoir la différence entre implication en logique et en mathématique, on peut se souvenir que pour la première on étudie la relation entre propositions qui peuvent être vraies ou fausses (et qu'on s'oblige à épuiser tous les cas possibles, dans des tables de vérité), tandis que pour la seconde on ne traite que de propositions vraies (lorsqu'une est fausse, c'est son opposée qui est explicitemnt vraie).
    Ainsi, pour passer de l'implication logique à la mathématique, on contraint la proposition A à être vraie. On peut dire que

    A => B mathématique

    est l'équivalent du jeu de propositions

    A -> B
    A vraie

    logique.

    Et on peut imaginer comment les logiciens du XIXe ont créé (ou découvert) l'implication logique :
    Ils connaissaient de longue main celle des raisonnements mathématiques habituels, ils ont cherché parmi les connecteurs logiques (traduits en termes de tables de vérité) celui qui pouvait s'y ramener, dans le cas ou A était vraie.

    Amicalement.

    Félix
  • Mais que penser alors de cet exemple : On considère un homme "normal" et on énonce les deux assertions suivantes :
    A : L'homme mesure moins de 2,5m
    B : L'homme mesure moins de 3m

    Les deux assertions A et B sont vraies, alors que l'assertion B->A me semble fausse.

    Il y a forcément une erreur grossière dans mon raisonnement, mais je ne trouve pas laquelle. Pourriez-vous m'aider ?

    Ce n'est pas une question de différence entre perception vox populi et perception officielle du sens de "-->"

    C'est ta formulation qui est vague:

    pour la formaliser, tu peux dire:

    A(h)="h mesure moins de 2,5m"
    B(h)="h mesure moins de 3m"

    ton impression de fausseté vient du fait qu'est fausse la phrase:
    "quelque soit h, B(h)-->A(h)"

    ton impression que, pour un "homme normal", les 2 idées sont vraies vient de la vérité suivante:

    "quelque soit h (h mesure moins de 2m10)-->(B(h) et A(h))"

    (j'ai un pote qui fait 2m, j'ai pas voulu le traiter d'anormal

    Pour comprendre sans impression d'avoir "loupé quelque chose" à la définition de "U-->V" sache juste que, fondamentalement:

    non(U) n'est pas une notion première, c'est simplement une abréviation pour dire:
    "U-->tout"

    Ensuite, démontre comme un théorème (exercice pour toi) que les 2 phrase suivantes sont équivalentes:

    (1) A-->B
    (2) non(A) ou B

    ***
    aide:
    (2)-->(1) ne te posera pas de problème

    pour la réciproque, prouve que (1) implique non(non(2))
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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