Z/pZ-espace vectoriel

Said Fubini

Bonjour


Comment peut on voir qu'un groupe commutatif où tout element est d'ordre $p $premier est un$ \Z/p\Z$-espace vectoriel

PB

Bonjour,

L'énoncé est plutôt : "...où tout élément x est tel que px=0..." (car l'élément neutre n'est pas d'ordre p).

Et aussi : "... un Z/pZ-espace vectoriel dont l'addition est celle d'origine."

Indications : il faut donc définir Ax lorsque A appartient à Z/pZ et x au groupe commutatif. Pour cela, on vérifie que si a est un entier, alors ax (défini classiquement) ne dépend que de la classe de a modulo p. Une fois Ax défini, il faut vérifier les axiomes des espaces vectoriels.

De façon un peu plus abstraite mais plus rapide : une structure de K-espace vectoriel (ou plus généralement de K-module, K étant un anneau commutatif) sur un groupe commutatif (M,+) peut être définie comme étant un morphisme d'anneaux K-->End(M,+). Par exemple, l'unique morphisme d'anneaux Z-->End(M,+) est la structure naturelle de Z-module. Si ce morphisme d'anneaux s'annule en p (c.a.d. si la multiplication par p dans M est l'endomorphisme nul), alors le morphisme d'anneau passe au quotient Z/pZ-->End(M,+) et on a donc notre Z/pZ-espace vectoriel, sans rien vérifier

Said Fubini

C'est clair maintenant merci

nicolas.patrois

Ton énoncé est mal posé : je ne vois pas trop comment un groupe pourrait être un espace vectoriel, il lui manque une opération.

Said Fubini

Bonsoir

\begin{quote}{\bf nicolas.partois} : "je ne vois pas trop comment un groupe pourrait être un espace vectoriel, il {\it lui manque une opération}."
\end{quote}

C'était l'objet de ma question : il manque la loi externe qui est :
$$(\lambda +p\Z).x = \lambda.x $$
et elle est bien définie car si $\lambda -\lambda' \in p\Z$ alors $\lambda.x =\lambda'.x$