Exercices produit scalaire niveau 1ère

Sandra123

Bonjour,

Je suis en 1ère.
J'aurais besoin d'exercices sur le produit scalaire dans le plan. En effet, j'ai un professeur de mathématiques qui donnent toujours des exercices très astucieux. J'ai beau travailler comme un malade (je fais tous les exos de mon livre et je les vérifie, je suis sûr d'avoir bon), j'arrive pas à réussir son contrôle parce que je suis un peu lent. Je voudrais donc m'exercer le plus possible, en vu du prochain contrôle mais aussi pour le fun, j'ai remarqué qu'il est très difficile de trouver un bon livre avec des exercices pour les élèves qui veulent approfondir.

Svp aidez-moi!
Merci d'avance.

chris

En voilà un : deux points $E$ et $F$ appartiennent à un cercle de diamètre $[AB]$ et sont tels que les droites $(AE)$ et $(BF)$ sont sécantes en un point $I$. Démontrer que
$$\overrightarrow{AE}.\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{BF}.\overrightarrow{BI}=AB^2.$$

Sandra123

Wahouu... Merci Chris pour cet exercice. Il a l'air vraiment top. On voit pas la réponse d'un simple coup d'oeil , je vais faire des recherches avec mon papier. Merci beaucoup!! Si y'en a d'autres n'hésitez pas , je prends tout!

Sandra123

La réponse pleas ?

bisam

As-tu remarqué les 2 angles droits en E et F ?

timoussss

Bon un petit indice pour cet exercice très astucieux.

Montre d'abord que : $$\overrightarrow{AE}.\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AI}$$ et $$\overrightarrow{BF}.\overrightarrow{BI} = \overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BI}$$

Il ne reste plus qu'à réécrire judicieusement un des 2 produits scalaires et le résultat en découle.

Amicalement t-mouss (en espérant ne pas avoir détruit l'exo :S en même temps il m'a fallut 5 bonnes minutes pour trouver la bonne décomposition ^^)

timoussss

Un autre exo :

Soit ABC un triangle isocèle en A, H le projeté orthogonale de A sur BC, $H_1$ et $H_2$ les projetés orthogonaux de H respectivement sur AB et AC, I l'intersection de $H_1H_2$ avec la hauteur issue de A et enfin I' l'image de I par la rotation d'angle 180 degrés et de centre H.

Montrer que : $$(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}).\overrightarrow{AI} = 2(IH.AI + AI^2)$$

t-mouss

timoussss

OUblions le I' image de I par la rotation, il ne sert à rien...

t-mouss

Sandra123

Merci Timoussss. Mais malgrè tes indications , j'arrive pas à trouver la réponse pour l'exercice de chriss. Décidemment, je suis trop nulle !
Je ne vois pas comment tu trouves :
$$\overrightarrow{AE}.\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{AB} . \overrightarrow{AI}$$
et
$$\overrightarrow{BF}.\overrightarrow{BI} = \overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BI}$$

gb

Avec l'indication de Bisam, tu peux facilement obtenir le résultat de Timoussss
$$\overrightarrow{AE}.\overrightarrow{AI} = (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BE}).\overrightarrow{AI}$$

timoussss

Premièrement il ne faut pas dire "je suis trop nulle !" mais "je n'ai pas travaillé correctement". Dire "je suis trop nulle" c'est se déresponsabiliser et se donner une excuse pour ne pas trouver, c'est une attitude peu combative et pour faire des maths il faut aimer le combat.

Que connais tu de vraiment essentiel pour un produit scalaire (à part sa bilinéarité), si ce n'est que <AB,CD> = 0 si et seulement si (AB) et (CD) sont perpendiculaires ? Ensuite comment utiliser de manière astucieuse ce resultat ? Et bien si BE et CD sont perpendiculaires alors <AE,CD> = <AB,CD>. Il n'y a que ça à utiliser.

Bon aller histoire de relever le niveau et de te submerger d'exo astucieux (te pleins pas, c'est toi qui l'a demandé) je te propose de créer un nouvel objet (rien que ça !!) : la puissance d'un point par rapport à un cercle.

Soit un cercle C de centre O et de rayon r, M un point n'appartenant pas au cercle, A et B 2 points du cercle (éventuellement confondus) alignés avec M.
MOntre que <MA,MB> est indépendant du choix de A et B

Je vais détailler un peu la démonstration car tu as l'air de manquer quelque peu d'initiative (et bon l'exercice n'est pas évident quand on a peu/pas l'habitude).

L'idée est de montrer que <MA,MB> = XXX et pour cela on introduit le point A', intersection avec C de la perpendiculaire à (AB) issue de B. Ainsi le triangle ABA' est rectangle en B. Pour trouver la quantité XXX étudie le cas où A et B sont diamétralement opposés (la quantité XXX ne doit bien sur dépendre ni de A ni de B, autrement dit ne faire intervenir que M, O et r).

Dans un premier temps, montre que O est le milieu de [AA'] et donc les vecteurs OA et OA' sont opposés.

Ensuite utilise le fait que (A'B) et (MA) sont perpendiculaires pour exprimer <MA,MB> uniquement en fonction de M, A et A'.

Utilise le résultat précédent en remarquant que <OA,OA'> = -r²

Sans t'en rendre compte, tu viens de donner la définition de "puissance d'un point M par rapport à un cercle C", puisque la quantité <MA,MB> ne dépend que de M et de C.

En espérant que cette fois tu vas te débrouiller tout(e) seul(e)

t-mouss

Sandra123

Lol, non ne t'inquiète pas timoussss. Je disais ca , juste comme ca. Au contraire, ca me motive ce genre d'exercices. Mais je dois t'avouer que j'en ai pas l'habitude, et qu'il faut que j'apprenne à prendre des initiatives, c'est bien ca que je recherche d'ailleurs. Tu as totalement raison!

Sandra123

Mais je suis qu'à l'exercice de Chris même si je sens que ca va me prendre un temps fou, je vais essayer de trouver...

Sandra123

Bon pour ton 1er exo , je viens d'y jeter un coup d'oeil et:

$$(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}).\overrightarrow{AI}= 2\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{AI}= (2\overrightarrow{AI}+2\overrightarrow{IH}).\overrightarrow{AI}=2\overrightarrow{AI}^2+2\overrightarrow{IH}.\overrightarrow{AI} $$

XXXXX

bon ok le premier exercice était très simple, juste pour voir ou tu en étais... et c'est une bonne démonstration que tu nous donne là (pour un devoir il faudrait justifer que AB + AC = 2AH 'en vecteurs').

POur l'exercice de chris, les différentes indications que l'on t'a données (GB, Bisam et moi même) te donnent quasiment la demo, à toi de la rédiger.

POur l'exo avec le cercle, ce n'est pas très dur et du même ressort que l'exo de chris.

t-mouss

Sandra123

Ohlala je viens de comprendre !!! En fait j'arrivais pas à me mettre dans la tête la projection dans l'autre sens. Je ne comprenais pas d'où les résultats venaient.
\begin{align*}
\overrightarrow{AE}.\overrightarrow{AI} &=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AI} \\
\overrightarrow{BF}.\overrightarrow{BI} &=\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BI} \\
\overrightarrow{AE}.\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{BF}.\overrightarrow{BI} &= \overrightarrow{AB}.(\overrightarrow{AI}-\overrightarrow{BI}) \\
&= \overrightarrow{AB}.(\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IB}) \\
&=\overrightarrow{AB}*\overrightarrow{AB} \\
&= AB^2
\end{align*}
CQFD!! Super!

Merci beaucoup, je viens d'apprendre à ouvrir les yeux un peu plus.

Yoooo

Ba voilà, l'essentiel est fait...

Maintenant essaie de ne pas les refermer

Content de t'avoir aidé.

J'attends quand même la puissance d'un point par rapport à un cercle B-)-

Bon courage

t-mouss

chris

Un autre?
$ABC$ un triangle d'orthocentre $H$. $P,Q,R$ les pieds des hauteurs.
Montrer que $\overrightarrow{HA}.\overrightarrow{HP}=\overrightarrow{HB}.\overrightarrow{HQ}=\overrightarrow{HC}.\overrightarrow{HR}$ et $\overrightarrow{PH}.\overrightarrow{PA}=-\overrightarrow{PB}.\overrightarrow{PC}$.

stfj

chris a dit :

En voilà un : deux points $E$ et $F$ appartiennent à un cercle de diamètre $[AB]$ et sont tels que les droites $(AE)$ et $(BF)$ sont sécantes en un point $I$. Démontrer que
$$\overrightarrow{AE}.\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{BF}.\overrightarrow{BI}=AB^2.$$

On peut appliquer la règle du parallélogramme et la puissance du point I par rapport au cercle.