automorphismes continus de (C*,×)

Sylvain

Bonjour,

j'aimerais savoir s'il y a d'autres automorphismes continus de $(\C^{*},\times)$ que l'identité et la conjugaison.
Merci d'avance.

gb

Il me semble effectivement que ce sont les seuls.

GreginUK

Je serai curieux d'en voir une preuve.Je réfléchis à la question

gb

Hélas, j'ai répondu trop vite..
il y a $z \mapsto \dfrac{1}{z}$ et son conjugué.

GreginUK

Exact, gb!


maintenant, sont-ce les seuls???

GreginUK

Je vais sans doute poser une question stupide, mais l'automorphisme

$$re^{i\theta}\mapsto r^{2n+1} e^{i\varepsilon\theta}$$
n'est-il pas continu ??? (avec $n$ entier et $\varepsilon=\pm 1$ fixés)

Mes souvenirs d'analyse sont trrrrrèèèès loin.

egoroff

D'accord avec Greg ; il y a déjà tous les automorphismes "produit" qui exploitent le fait que $\C^* \simeq \R_+^* \times \mathbb{U}$ donc déjà les $r e^{i \theta} \mapsto r^a e^{i \varepsilon \theta}$ où $a \in \R^*$ et $\varepsilon \in \{-1,1\}$. Y en a-t-il d'autres ?

Eric Chopin

Je pense qu'il n'y en a pas d'autres, je me rappelle que Tate
redémontre ce résultat au début se sa these en considérant
les automorphismes laissant le cercle unité invariant dans un
premier temps puis en décomposant l'automorphisme comme produit
d'un tel automorphisme avec un autre défini sur le cercle sous la
forme:
$\chi(z) = \chi_0(z).\epsilon(z/|z|)$

a+

eric

dSP1

Si, il y en a d'autres !

La forme la plus générale que l'on puisse donner est
$z \mapsto \exp(\alpha \ln |z|) z^{\epsilon}$ avec
$\epsilon \in \{-1,1\}$ et $\alpha \in \C \setminus \{-\epsilon+it \mid t \in \R\}$

Eric Chopin

Effectivement dans la these de Tate il s'agissait des
homomorphismes continus de $K^\times$ dans $C$ avec $K$ corps
local, ce qui n'est pas la meme chose..

A+

eric

Sylvain

Merci à tous.

Utilisateur anonyme

dSP Écrivait:

---

> Si, il y en a d'autres !
>
> La forme la plus générale que l'on puisse donner
> est
> $z \mapsto \exp(\alpha \ln |z|) z^{\epsilon}$
> avec
> $\epsilon \in \{-1,1\}$ et $\alpha \in \C
> \setminus \{-\epsilon+it \mid t \in \R\}$

Une référence SVP?

bosio frederic0

On peut d'terminer les automorphismes continus de $\Bbb C ^* $ de plusieurs facons (au passage, on remarquera $z \to \frac{1}{z}$).

L'une d'entre elle est de voir que $\Bbb C ^* $ est isomorphe \`a ${\Bbb R }^2 / \Bbb Z $ et les automorphismes continus de $\Bbb C ^* $ correspondent aux automorphismes continus de ${\Bbb R }^2 $ qui envoient ${\Bbb Z } \times \{ 0 \} $ sur lui-m\^eme, autrement dit envoient $(1,0)$ sur $(\pm 1,0)$. Ce sont donc les matrices de la forme $\left( \begin{array}{cc} \pm 1 & a \\ 0 & b \end{array} \right)$ avec $b \neq 0$.