Image de la boule unité

skyrmion

Bonjour à tous,

Peut-on cartactériser l'image de la boule unité de $\mathbb{R}^n$ par une application linéaire.
Dans $\mathbb{R}^2$, on obtient une ellipse, que dire en dimension plus grande ?

sk.

Bruno

Bonjour skyrmion.

Une application linéaire se caractérise par ses formes linéaires coordonnées. On substitue donc des formes linéaires à la place des coordonnées dans une forme biaffine et on obtient une forme biaffine. L'image d'une hyperquadrique de Rⁿ par une application linéaire de Rⁿ dans R^p est donc une hyperquadrique propre ou non.

Bruno

Remarque0

Dans le cas $\R^n\to\R^n$, si on prend une application linéaire inversible et la factorisation polaire de sa matrice dans la base canonique $A=RU$ avec $U$ symétrique définie positive et $R$ orthogonale, alors on voit que l'effet de $U$ est de transformer la boule unité (euclidienne) en un ellipsoïde dont les axes correspondent en gros (modulo les cas de valeurs propres multiples) aux espaces propres de $U$, qui est ensuite soumis à l'action de $R$, une rotation ou une symétrie. Dans les deux cas, on reste avec un ellipsoïde. Si la matrice n'est pas inversible, on tombe sur un ellipsoïde de dimension inférieure inclus dans son image. On traite le cas $\R^n\to\R^p$ de façon analogue.