tribu borélienne de la convergence uniforme

Said Fubini

Bonjour,

Comment peut-on montrer que la tribu engendrée par les $\epsilon _t : C[0,1]\longrightarrow \R$ définis par $x\mapsto x(t)$ est exactement la tribu borélienne de la convergence uniforme.

Il y a une inclusion évidente mais l'autre je n'arrive pas.

TheBridge

Bonjour Saïd,

D'après ce que je comprends de ta question, tu veux montrer que la tribu cylindrique pour les fonctions continues sur [0,1] correspond exactement à la tribu borélienne engendrée par les ouverts de la topologie de la norme sup.

La tribu cylindrique est engendrée par les cylindres qui ont la forme suivantes

Pour tout n-uplet de [0,1] $(t_1,...,t_n)$, et tout n-uplet d'ouverts $(O_1,...,O_n)$ on appelle cylindre C de $\mathcal{C}([0,1])$ :

$C(O_1,...,O_n)=\{x\in \mathcal{C}([0,1])$ tels que $\epsilon(t_1)(x)^{(-1)}\{O_1\}\in \mathcal{B}([0,1]),...,\epsilon(t_n)(x)^{(-1})}\{O_n\}\in \mathcal{B}([0,1])\}$

Les boules ouvertes de centre y et de rayon r de la norme Sup sur $\mathcal{C}([0,1])$ sont de la forme :

$\{x \in \mathcal{C}([0,1])$ tels que $||x-y||_{\infty}<r\}$

Ces boules engendrent la topologie de la norme sup sur $\mathcal{C}([0,1])$.

Voilà, il ne te reste plus qu'à montrer que l'on peut "construire" les uns avec les autres (et vice versa) pour pouvoir conclure.

egoroff

Euh c'est vrai ce truc ? Ah oui parce que les fonctions sont continues.. sinon ça ne marche pas.

En tous cas ce qui est vrai, et que tu peux montrer avec les indications de TheBridge, c'est que la tribu-produit est formé exactement des $\{ \, x \in C([0,1]) \, | \, (x(t_n))_{n \in \N} \in B \, \}$ où $(t_n)$ est une suite de points de $[0,1]$ et $B$ un borélien de $\mathbb{B}(\R^{\N})$.

Remarque0

ON prend une suite $t_n$ dense dans $[0,1]$ et $C_n=\varepsilon_{t_n}^{-1}(]-1,1[)$. Alors, clairement $\cap_{n\in\N}C_n=B(0,1)$. La tribu contient donc les boules. Comme $C([0,1])$ est séparable, elle contient les ouverts, et c'est terminé me semble-t-il.

TheBridge

egoroff:

The thing is that I wanted to set up things with the most simple objects possible. This is why I didn't introduce Borel sets or/and countable number of them.

Remarque :
You are right and your post finished the answer to Saïd's question.

Mais bon je voulais laisser Saïd trouver tout seul peut-être a-t-il trouvé tout seul d'ailleurs.

PS:
Je peux également parler en espagnol B-)- et essayer de la faire en Italien -D

egoroff

Ach ! Ja wohl, sehr gut Herr Brücke.

Remarque0

I'm sorry Mr. TheBridge. I won't do it again. Promise.

Said Fubini

Bonsoir,

Merci pour vos indications, l'astuce de remarque a tout simplifié ; j'aurais pas trouvé tout seul.

TheBridge

En fait, remarque a remarquablement ( je ne puovais pas ne pas la faire )synthétisé la conclusion, je pense que si j'avais dû écrire la solution, elle aurait pris au moins 30 lignes.

PS:

джентльмен egoroff comment dit-on "le pont" en Русский ?

Remarque0

Мост

(d'après mon widget de traduction, donc sans garantie). Et quelques autres pour la route :

橋梁
브리지
Η γέφυρα
橋

TheBridge

Eh bas c'est moche X:-(

mieux vaut ne pas le dire en Ðóññêèé alors :P

Remarque0

Une petite précision. Quand j'ai dit \og\ clairement \fg\ plus haut, j'ai clairement exagéré. L'ensemble $\cap_{n\in\mathbb{N}}C_n$ contient des points de la sphère. Pour éviter ça, il suffit de modifier un peu en posant $C_{n,k}=\varepsilon_{t_n}^{-1}({]-}1+\frac1k,1-\frac1k[)$ et ce coup-là, on a bien $B(0,1)=\cup_k\bigl(\cap_{n}C_{n,k}\bigr)$.

TheBridge

Tiens je ne l'avais même pas vu

Sinon pour étendre l'affirmation sur $\R^+$ on peut métriser l'espace $\mathcal{C}(\R^+)$ avec la distance suivantes :
$$d(f,g)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2^n}\sup_{t\in [0,n]}(|f(t)-g(t)|)$$
Qui permet de définir une norme rendant l'espace $\mathcal{C}(\R^+)$ Banach et séparable.

Remarque0

Oui, c'est une distance qui induit la topologie naturelle de la convergence uniforme sur les compacts, qui est une topologie d'espace de Fréchet. Ca m'a l'air de marcher pareil effectivement. Petite note des goûts et des couleurs, je pense qu'il est plus facile de travailler avec les semi-normes plutôt qu'avec une telle distance dans un Fréchet, ou plus généralement dans un evt avec les voisinages de zéro.