Intégrale

YB

Bonjour, j'ai un problème pour calculer l'intégrale suivante.

Je considère
- une matrice nilpotente $A$.
- une détermination du logarithme sur $\C\setminus \R_+$,

Je note $z^A = \exp (A \log z)$ fonction holomorphe $\C\setminus \R_+$.

Je cherche à calculer $ \displaystyle F(s) = \int_{\gamma} z^A e^{-sz} dz $
où $\gamma$ est le chemin suivant :
- on va de $+\infty +\varepsilon$ à $+\varepsilon$
- on parcourt un demi-cercle de $+\varepsilon$ à $-\varepsilon$
- on va de $0^-$ à $+\infty -\varepsilon$.

Merci d'avance.

jean lismonde

bonsoir

si y est le chemin correspondant à 0 jusqu'à l'infini alors F(s) est une fonction associée à la fonction Gamma

on connaît le résultat classique:

intégrale de 0 à l'infini de t^A.exp(-ts).dt= Gamma(I+A)/s^(A+I)

si A est une matrice carrée de format 2X2 et de valeurs propres r1 et r2 alors les fonctions matricielles deviennent:

Gamma(I+A)= (I/(r1-r2)).[(1+r1).Gamma(1+r2)-(1+r2).Gamma(1+r1)] +
[(A+I)/(r1-r2)][Gamma(1+r1)-Gamma(1+r2)]

et S^(I+A)=exp[(A+I)lns]=[I/(r1-r2)][(r1+1)exp(r2+1)-(r2+1)exp(r1+1)]+
[(A+I)lns/(r1-r2)].[exp(r1+1)-exp(r2+1)]

si A est de format 3x3 le résultat tient compte d'une troisième valeur propre r3 éventuelle
et surtout le fait que A soit nilpotente (à partir de quel rang?) limite le développement à quelques monômes en I et A+I
dans l'expression algébrique de Gamma(I+A) et celle de S^(A+I)

je ne peux t'en dire plus

cordialement