Algèbre : anneau

Caliméro

Bonsoir à tous,

Je suis confronté à un problème d'algèbre ... C'est le suivant :
" Combien d'anneaux commutatifs (unitaires) y a-t-il, à isomorphisme près, de cardinal 0,...,6"

Et voilà mon problème :
Si on considère un élément à 4 élements X = {0,x,y,z} avec 0 élement neutre pour l'addition. Il y a 4 choix pour 0 puis 3 choix pour l'élément neutre 1 de la multiplication.
Mais intuitivement, je ne trouve sue Z/4Z et Z/2Z x Z/2Z.
Alors je ne vois pas trop où ça bloque ...

jobherzt

Sachant qu'un anneau est en particulier un groupe, et que les seuls groupes d'ordre 4 sont ceux que tu cites, il n'y a aucun probleme.

Il ne faut pas raisonner en terme de 0 et d'unité : a permutation des "etiquettes" pres, tu peux tres bien decide de faire jouer le role de l'unite a n'importe quel element , pareil pour le 0. Dis toi directement qu'il y a un 0, un 1 et 2 elements restant dont le role reste a determiner. les 2 seuls anneaux d'ordre 4 sont donc ceux que tu cites.

Pour 5 et 6, la encore le nombre de groupe est petit, donc commence par ca, reste à voir si ce sont des anneaux aussi...

Caliméro

Par exemple, pour 5 éléments. Le seul groupe que je vois est Z/5Z. Il reste 3 éléments à déterminer, et c'est après que je nage un peu. Est ce que je dois considérer un ensemble X = {0,1,x,y,z} est montrer qu'il est isomorphe à Z/5Z ??

jobherzt

La question n'est pas de determiner les autres elements, tu les connais. ce ne sont pas des elements que tu cherches, mais des lois, des structures. Tu as le seul groupe d'ordre 5, il te reste a determiner la ou les multiplication que tu peux mettre dessus pour en faire un anneau. note que dans le cas 4 il faut aussi s'assurer qu'ils ne peuvent pas avoir d'autre structure d'anneau, il me semble que c'est vrai mais faut le verifier.

L'idée, c'est que tu connais deja le resultat du produit d'un element de $\Z_5$ par 1 ou 0. Dans la structure usuelle d'anneau de $\Z_5$, on a $2\times 3=1$. Que se passe t il si tu decides que $2\times 3=4$ ? $=0$ ? est ce toujours un anneau ? bref, il faut essayer de derouler les possibilités et d'eliminer celles qui menent a des impasses.

jobherzt

Notes que je me suis emballé : si tu definis une nouvelle multiplication sur le groupe $\Z_5$, son element neutre n'est pas forcement $1$... faut tester...

dSP1

Il vous manque un type d'anneau commutatif unitaire à 4 éléments :
il y a aussi $\mathbb{F}_2[X]/(X^2)$.
Cet anneau n'est isomorphe ni à
$\mathbb{F}_2 \times \mathbb{F}_2$ ni à $\mathbb{Z}/4$ car il possède un élément nilpotent non nul et car son groupe additif sous-jacent n'a pas d'élément d'ordre $4$.

GreginUK

Certes pour la structure de groupe, c'est bon...mais la structure d'anneau peut-être tordue.

Par exemple, pour $n=4$, il y a $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^2$ et $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$, mais aussi $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}[X]/(X^2)$ (ou si on préfère $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}[[\varepsilon]$ avec $\varepsilon^2=0$), ainsi que
le corps $\mathbb{F}_4$ (ou si on préfère $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}[\tau]$, avec $\tau^2=1+\tau$)

C'est d'ailleurs les seules structures d'anneaux d'ordre 4 possibles, si je ne m'abuse.

Caliméro

Ce qui me pose problème, c'est comment déterminer qu'il y a 4 structures d'anneaux à 4 éléments. Est-ce que je suppose que je considère l'anneau Z/4Z et je tente de changer l'élément neutre, ou de changer la multiplication ??

Rassurez-moi, il ne faut pas prier, lire, lire, relire et travailler pour comprendre tout cela ...

dSP1

GreginUK ne s'abuse pas.

gb

Si $A$ est un anneau à quatre éléments, il n'y a que deux structures additives possibles, $\Z/4\Z$ et $(\Z/2Z)^2$.

1. Si c'est $\Z/4Z$, le groupe est cyclique, et de nouveau 2 cas : l'unité de l'anneau est un générateur du groupe ou non.

1.1. Si $1_A$ engendre le groupe $(A,+)$, on a alors $A = \{0,1_A,1_A+1_A,1_A+1_A+1_A\}$, et la distributivité permet de déterminer la table de multiplication.. L'anneau $A$ est isomorphe à l'anneau $\Z/4\Z$.

1.2. Si $1_A$ n'engendre pas le groupe $(A,+)$, alors $A = \{0,1_A,a,a+1_A\}$ avec $a+a=1_A$ et $1_A+1_A=0$. La distributivité permet de déterminer la table de multiplication en fonction de $a^2$. Il reste à voir quelles sont les valeurs de $a^2$ qui conduisent à une structure d'anneau.

2. Si c'est $(\Z/2\Z)^2$, alors tous les éléments non nuls, en particulier $1_A$ sont d'ordre (additif) 2, et $A = \{0,1_A,a,a+1_A\}$. Là encore, la distributivité fournit la multiplication en fonction de $a^2$...

Pour les anneaux de cardinal 5 et 6, c'est un peu plus simple du fait que la structure additive est unique.

Caliméro

Merci beaucoup pour toutes vos réponses. Pour ce qui est de la dernière, je vais développer ça sur papier, et ça devrait m'apparaître clair.Merci beaucoup et bonne soirée !

GreginUK

Alooors, si $A$ est ton anneau, on a $4a=0$ pour tout $a\in A$.

Donc $A$ est de caractéristique $2$ ou $4$.

Si $car(A)=2$, alors $A$ est un $\mathbb{F}_2$-espace vectoriel de dimension $2$. On peut supposer qu'une base contient $1$. Soit $1,\tau$ une telle base.

Alors $\tau^2=0,1,\tau$ ou $1+\tau$.

Le premier cas donne $\mathbb{F}_2[X]/(X^2)$, et le 2eme aussi en posant $\tau'=\tau+1$ et en remarquant que $\tau'^2=0$. Le 4eme donne $\mathbb{F}_2[X]/(X^2+X+1)\simeq\mathbb{F}_4$.

Le deuxième donne $\mathbb{F}_2[X]/(X(X+1))\simeq \mathbb{F}_2\times\mathbb{F}_2$ par le lemme chinois.

Si $car(A)=4$, je crois que ce n'est pas trop difficile de voir qu'on n'a que $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ comme possibilité. j' y réfléchirai quand j'aurai deux secondes.

Caliméro

Ouahh

PB

Variante pour les anneaux de cardinal 4 :

Soit A un anneau de cardinal 4 (commutatif unitaire).
Il y a un unique morphisme d'anneau Z->A (c'est général).
L'image est un sous-anneau, en particulier un sous-groupe additif donc est d'ordre 2 ou 4. Si c'est 4, alors A "est" Z/4Z.

Si c'est 2 alors A "contient" le corps K=Z/2Z. Donc A est une K-algèbre de dimension 2. Soit x dans A privé de K. Soit P le polynôme minimal de x sur K. P est de degré 2. On a A=K[X]/(P).

Réciproquement, tout anneau de la forme K[X]/(P), avec P unitaire de degré 2, est de cardinal 4. Il reste à regarder si pour différents P on obtient des anneaux isomorphes. Les polynôme de degré 2 à coefficients dans K sont :

P1=X^2
P2=X^2+1
P3=X^2+X
P4=X^2+X+1

X^2+1=(X+1)^2 d'où un isomorphisme entre K[X]/(P1) et K[X]/(P2). C'est un anneau local qui n'est pas un corps.

Pour K[X]/(P3), on peut appliquer le lemme chinois, et on obtient l'anneau K*K.

Et K[X]/(P4) est un corps car P4 est irréductible.

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Conclusion pour les anneaux à 4 éléments :
- il y a 3 anneaux qui contiennent un sous-corps (le sous-corps Z/2Z) : un corps (le corps à 4 éléments), un produit de deux corps, un anneau local non réduit.
- il y a un anneau qui ne contient pas de sous-corps : Z/4Z.

GreginUK

Une chtite remarque. Soit $\Theta_A:\mathbb{Z}\to A$ l'unique homomorphisme d'anneau de $\mathbb{Z}$ dans $A$, et soit $c=car(A)$.

Remarquons que $c\mid \mid A\mid$. En utilisant le théorème de factorisation, on voit que $\mathbb{Z}/c\mathbb{Z}$ s'identifie à un sous-anneau de $A$.

En particulier si $c=\mid A\mid$ , alors on obtient $A\simeq \mathbb{Z}/c\mathbb{Z} $

Cela donne donc le cas qui manqauit dans mon dernier message: le seul anneau de caractéristique $4$ à 4 éléments est $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$.

Remarquons que cela entraîne aussi que le seul anneau à $p$ éléments, $p$ premier, est $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$. Amusant, non?

GreginUK

Raaaah, grillé par PB !!!

PB

Pas vraiment grillé, on se complète