Ensemble appartenant à lui-même

Bonsoir,

Est-il possible que dans la théorie des ensembles, il y ait en plus les deux axiomes suivants:
il existe un ensemble infini
il existe un ensemble appartenant à lui-même

Merci

Réponses

  • Le premier y est deja
    Le second mene a une contradiction, me semble t il, ou au mieux ne mene pas a grand chose (l'auto reference en general ne passe pas trop en logique...)
  • Il me semble que le premier des deux axiomes fait partie de la theorie dite de Zermelo-Fraenkel (ZF), qui est la theorie des ensembles "minimale" adoptee en general par la commuanute mathematique.

    Pour le 2) l'existence d'un tel ensemble est contraire a l'axiome dit de fondation, qui stipule que tout ensemble non vide possede un element duquel il est disjoint. Si un ensemble se contenait le singleton forme de ce seul ensemble contredirait l'axiome precite.

    Toutefois, le statut de cet axiome par rapport a la theorie des ensembles n'est pas totalement clair pour moi. Je crois qu'il ne fait pas partie des axiomes de la theorie ZF, mais que la grande majorite des mathematiciens l'acceptent. Toutefois, il n'a, a ma connaissance, aucune consequence importante connue en dehors de la theorie des ensembles et la grande majorite des mathematiciens ne le rencontrent jamais au cours de leurs traveaux, donc l'acceptation ou le refus de cet axiome n'influence pas fondamentalement les mathematiques.

    On peut donc sans grand inconvenient faire des mathematiques tout en acceptant l'existence d'ensembles qui puissent se contenir.
  • Merci pour vos reponses.
    Comment montrer la contradiction ou la non-contradiction? Aurais-tu des references ?
    Si on enleve l'axiome de l'ensemble infini.
    En posant qu'un ensemble, est un arbre A eventuellement de longeur infini denombrable, dont chaque noeud ait un nombre fini de fils. Les elements de A etant les arbres attachés au sommet. On peut prendre comme arbre pour un ensemble appartenant à lui-meme une chaine infinie.
    Le probleme vient avec l'axiome de l'ensemble infini, puisqu'on doit construire un modele qui contient tous les parties d'un ensemble.
    Je ne sais pas si c'est tres clair.
  • Comme le dit Frederic, cela n'amene pas vraiment de contraditcion avec les axiomes habituel de la theorie des ensemble. Le probleme c'est qu'une fois posé l'axiome :

    $$\exists x,\ x \in x$$

    ben..... on ne peut pas en faire grand chose, a priori il est impossible de decrire explicitement ou non un tel ensemble, et je ne pense pas qu'il puisse arriver de maniere naturel dans quelque domaine des maths que ce soit (contrairement a l'axiome du choix, par exemple, qui postule l'existence d'ensemble certes etrange et pas du tout explicite, mais dont on connait des exemples qui ont une "description" mathematique qui a du "sens", comme classe d'equivalence d'une relation bien bourrine par exemple.
  • Faire une recherche sur les "axiome de fondation" et "axiome d'anti-fondation" apportera sûrement beaucoup de réponses un peu plus poussées.
    De nombreux livres et articles ont été publiés sur ce sujet brulant... mais je ne saurai en dire plus car je n'ai lu que partiellement le très classique livre de Krivine.
  • Merci. En effet, c'est explique sur Wikipedia.
  • "$\exists x,\ x \in x$" est consistant avec ZFC (sans l'axiome de fondation)

    (j'attends un peu, je te conseille d'essayer de le prouver en partant de l'hypothèse que ZFC est consistant, tu serais content d'y arriver. Indice: ce n'est ni dur, ni inventif)

    Citation: "Comment montrer la contradiction ou la non-contradiction"

    De quoi, de cet axiome "$\exists x,\ x \in x$", ou en général?

    Histoire de te laisser chercher, je te le donne dans une forme alambiquée et incompréhensible: à renumérotation près, les ensembles sont les ensembles et comme ZFC n'est qu'une manière de dire que toutes les petites collections sont des ensembles, tu peux permuter les "noms"... SI après ça, avec un peu de chance y en a pas un qui se retrouvera dans lui-même (même s'il n'était pas dans l'ancien nom lol)

    <a href="http://www.logique.jussieu.fr/~chalons/Image1.JPG">Ca me fait penser à un truc que j'ai trouvé sur le net</a>:
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    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Il me semble que j'y etais arrivé avec les arbres. Ce qui me derangeait, c'est que je voulais construire un modele de la theorie des ensembles avec l'axiome $\exists x, x \in x$ en plus mais ca n'a pas besoin d'etre un modele.
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