séries alternées

jean lismonde

bonjour

chers amis du Forum je vous propose quelques pages de mon cru concernant les séries alternées

Ces propriétés des séries alternées contredisent certains dogmes qui ont cours depuis 2 siècles. Je ne recherche pas la provocation;

mon but est plutôt de rappeler et actualiser des résultats trouvés par les matheux du 18ème siècle (l'Hospital, Jacques et Jean Bernoulli, Daniel Bernoulli, Lagrange et surtout Euler) oubliés ou carrément proscrits depuis;

par exemple les séries numériques très simples:

1/2 = 1 - 1 + 1 - 1 +......ou bien 1/4 = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 -......ou :

-1/2 = 1² - 3² + 5² - 7² +.....+(-1)^n.(2n+1)²+.....

ou encore une série avec les factorielles, série connue d'Euler
(avec E=0,596 347 362 323 194 074 340 263 014 821 .....)

E = 1 - 1! + 2! - 3! + 4! -.......+ (-1)^n.n! +.....

non, ces séries numériques ne sont pas divergentes, elles sont convergentes mais d'une façon particulière. Au vingtième siècle l'Anglais Hardy et le Français Borel se sont intéressés à ces séries mais en sous-estimant leurs proriétés.

je termine ce simple document en indiqant quelques méthodes empiriques de calcul de limites de séries alternées et aussi en donnant des exemples de séries alternées déterminées par le calcul intégral.

A l'occasion du tricentenaire de la naissance de Tonton Leonhard (Euler) dont l'héritage scientifique
a été en partie saccagé par ses petits neveux sourcilleux (Cauchy et Weierstass) qui lui reprochaient (à tord) de manquer de rigueur,
si je peu conforter la mémoire du chercheur suisse, ce sera bien.

cordialement

Richard André-Jeannin

Bonjour Jean

Pour la première, on est tenté de prendre x=1 dans le développement bien connu:

1/(1+x)=1-x+x²-x^3+...

Dustblazer2525

Bonjour Jean
Il faudrait préciser la topologie choisie...p-adique, grossière ...?
eou la convergence : au sens de Césaro ? de Cauchy ?...?
Si par défaut elles sont réelles ou complexes avec la topologie usuelle elles divergent si leur tg ne tend pas vers 0.
cordialement
A+

Eric Chopin

Il me semble que la notion de convergence de serie a une definition
bien précise, qui requiert notamment une topologie. Dans tes
exemples tu identifies les sommes de series a des valeurs de prolongements
analytiques de certaines fonxtions,
donc ces series ne sont convergentes que si tu peux
a partir de tes prolongements analytiques definir une topologie sur R dans
lesquelles ces series sont convergentes. Je veux bien voir a quoi ca
ressemble ....

A+

eric

le barbant raseur

Quelqu'un avait déjà mentionné qu'il s'agit de "convergence au sens de ..." (j'ai oublié qui et ce qu'il y avait dans les points de suspension, et je ne retrouve plus le fil).

Mais en fait, j'ai l'impression que cela coïncide avec la convergence faible-étoile. Délire-je ?

egoroff

Je dirais convergence au sens d'Abel ? Je ne vois pas trop la connection avec la convergence faible-* mais mon cerveau est déconnecté aujourd'hui.

Sinon Jean, on est bien d'accord que des théories existent pour donner un sens aux somme de ce type de série, on appelle ça la sommabilité et c'est d'ailleurs très intéressant avec de belles maths dedans, et c'est une bonne initiative d'en faire profiter le forum.

Le problème est qu'on ne peut pas répondre à un élève de DEUG qui vient poser une question sur le forum que la série des (-1)^n n! est convergente ou que sin(x) tend vers 0 sans plus de précisions (et il vaut mieux ne pas lui dire du tout si vous voulez mon avis). Parce que la communauté mathématique s'est mis d'accord depuis longtemps sur le sens de "converger" tout court, et parce qu'il est inopportun de semer le trouble dans un jeune esprit qui s'habitue tout juste à la rigueur.

D'ailleurs ces théories de sommabilité sont difficiles très rigoureuses et il me paraît impensable de les aborder sans s'être d'abord frotter aux définitions "de base".

oumpapah

Bonjour

a partir d'une suite de terme géneral u(n) on peut se poser des tas de questions de convergence pour des suites qui lui sont associées et comparer éventuellement les limites.
le plus simple pour le lecteur interessé est de consulter le superbe bouquin de Hardy (sur les series divergentes réédité chez gabay)
rester dans le vague ne peut prétendre qu'a "épater le bourgeois":S