Bijection & AC

Bonjour tout le monde !

J'ai une question peut-être très con : si on a une application $f : X \longrightarrow Y$, on a l'équivalence : $f$ bijective $\Leftrightarrow^$ $f$ inversible. L'implication $\Leftarrow$ est simple, mais pour l'autre, a-t-on besoin de l'axiome du choix ? A la louche, il me semble que oui, et pourtant on utilise ce résultat tout le temps sans en faire tout un drame. Pour des endomorphismes en dimension finie, ok c'est facile, mais sinon ?

Voilou, si quelqu'un pouvait m'éclairer...

Merci !

Réponses

  • Salut,

    Bonne question, mais la réponse est non. On a besoin de faire appel à l'axiome du choix lorsqu'il y a besoin de faire un choix, et ici le choix est tout fait : il n'y a qu'un seul candidat pour être $f^{-1}(y)$, pour chaque $y \in Y$.

    Je pense qu'il en va autrement de l'implication : "$f$ surjective" $\Rightarrow$ "$f$ inversible à droite" i.e. "il existe $g \, : \, Y \to X$ telle que $f \circ g=id_Y$" ; dans ce cas il faut effectivement choisir un $g(y)$ dans l'ensemble $f^{-1}(\{y\})$, qui n'est plus forcément un singleton.

    Enfin attendons la réponse d'un logicien professionnel.
  • Je ne vois pas pourquoi on aurait besoin de AC. Moralement, AC assure l'existence de certains ensemblesn alors que la, par definition d'une fonction bijective, tout element $y$ de $Y$ a un unique antecedent $x$, il suffit de poser $f^{-1}(y)=x$. Je ne vois pas ou AC pourrait etre necessaire puisqu'a aucun moment on a besoin de choisir certains elements parmi d'autre.
  • Oh yeah exact, y'a pas de "choix" à faire ! Ce qui me gênait, c'était qu'il fallait définir une infinité d'éléments "simultanément", mais d'accord. Bon, sur ce, je retourne me coucher, merci les gens :)
  • Je confirme : pour "toute surjection admet une surjection" on utilise l'axiome du choix (bien sûr, pour beaucoup de surjections particulières, on n'a pas besoin de l'axiome du choix).
  • PB a écrit:
    Je confirme : pour "toute surjection admet une surjection" on utilise l'axiome du choix

    Et pour "toute surjection admet une section" aussi... ;)
  • De rien. Par contre, la question d'egoroff est interressante, je pense effectivement qu'on a besoin d'AC dans ce cas... J'aurais tendace à dire qu'on peut definir une relation d'equivalence sur $X$ par $x\mathcal{R} x' \Leftrightarrow f(x)=f(x')$. Trouver donc un inverse à droite de $f$ reviendrait a exhiber un et un seul representant de chaque classe de $\mathcal{R}$, et ca c'est le cas typique ou l'axiome du choix intervient.
  • Merci de confirmer, le barbu (je n'ai rien compris à ce que PB a écrit :) )
  • Je voulais dire "toute surjection admet une section", merci bardant raseur :)
  • Pour la peine, je complète :

    Si f:E->F est une application, on appelle section de f toute application g:F->E telle que fog=id_F. L'application g "choisit" des antécédents.

    Toute application qui admet une section est surjective, c'est évident.

    Réciproquement (avec l'axiome du choix) : soit f:E->F une surjection. Pour tout y dans F notons F_y sa fibre (l'ensemble de ses antécédents). La famille (F_y) est une famille d'ensembles non vides. D'après (une des formes de) l'axiome du choix, son produit est non vide : or un élément de ce produit est par définition une application g:F->E tel que fog=id_F.

    Bonus : dans ZF + "toute surjection admet une section", l'axiome du choix est un théorème. En effet, soit (E_i) une famille d'ensembles non vides, I étant l'ensemble des indices. Soit E une réunion disjointe des E_i et f:E->I l'application qui prend la valeur i sur E_i, pour tout i dans I. Comme les E_i sont non vides, f est surjective. Elle a donc une section g:I->E. Ce g est un élément du produit des E_i, lequel est donc non vide.
  • Pb a dit l'essentiel. Par contre, il subsiste une question: est-ce que s'il y a une surjection de E dans F, alors il existe forcément une injection de F dans E (***)? (Sans utiliser l'axiome du choix)

    A priori, non! En effet, il existe "évidemment" une surjection de $\R$ dans $\omega _1$. Et pourtant, il y a des tas d'axiomes dans ZF, réputés consistant avec ZF, qui entrainent que toute application de $\omega _1$ dans $\R$ a une image dénombrable.

    Autre question: est-ce que l'énoncé *** pour tout couple $(E,F)$ entraine l'axiome du choix? Il n'est pas exclu que "oui"... Mais est-ce bien certain?
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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