un peu d'applications...

Bonsoir,

Cela fait plus d'un mois que je n'avais pas fait un peu de math, alors j'ai ressorti quelques exos simples cet après-midi.

Et une question :

1°) Connaissez-vous une autre méthode que par "double implication" pour démontrer l'équivalence suivante :

Soit $f$ une application de $X$ vers $Y$.
$f$ est bijective ssi $\forall A\subset X, f(\complement A)= \complement f(A)$

Je ne pense pas, mais veux être sûr.

2°) L'un d'entre vous pourrait-il me confirmer l'énoncé suivant :

Si $f$ est une application de $E$ dans $F$ quelconque. Si $Im(f)$ est l'image de l'application, une partie $X$ de $F$ est telle que $f^{-1}(X)=\emptyset$ ssi
$X$ est inclus dans le complémentaire de $Im(f)$ dans $F$

En vous remerciant d'avance pour vos éclaircissements,
Cordialement,
Clotho.

[Corrigé selon tes indications. AD]

Réponses

  • bonsoir Clotho,
    pour le point 2, c'est clair, puisque $f^{-1}(X)=\varnothing $ signifie que chaque élément $x$ de $X$ n'a aucun antécédent par $f$ donc que $x\notin \mathrm{Im}(f)$.
  • Bonjour Clotho.

    Ta question 1) n'a pas vraiment de sens, car toute démonstration d'équivalence se ramenne à une vérification de double implication. Si tu veux éviter de l'écrire, il faut disposer de théorèmes (prouvés par double implication) qui te donnent des équivalences.

    Cordialement
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