barycentre en 1S

Bonjour

J’ai un exo de 1ere S sur les barycentres et je tourne en rond car j’arrive à quelque chose d’incohérent.

Voici le texte : AB mesure 4
1) Placer E barycentre de (A,1) (B,3)
2) Déterminer a tel que A soit le barycentre de (E,2)(B,a)

pour le 1) pas de problème
la relation vect(EA) + vect(EB) = vect (0) (relation 1)
donne
vect (AE) = ¾ vect(AB)

pour le 2) la relation 2vect(AE) + a vect(AB) = vect (0) donne
-(2+a) vect(EA) + a vect(EB) = vect (0) en utilisant Chasles
en comparant cette relation à la 1 j’obtiens
-(a+2)=1 et a =3 donc a=-3 et a=3 ….
Ça fait 10 fois que je le refais et je vois pas ce qui ne vas pas !
Merci pour votre aide.

Réponses

  • Bonjour,

    La relation 1 est
    $$\overrightarrow{EA} + 3\overrightarrow{EB} = \vec{0}$$
    La relation 2
    $$2\overrightarrow{AE} + a\overrightarrow{AB} = \vec{0}$$
    fournit effectivement
    $$-(2+a)\overrightarrow{EA} + a\overrightarrow{AB} = \vec{0}$$.
    Mais tu ne peux pas en déduire que les coefficients sont ceux de la relation 1.

    La relation 1 exprime que $E$ est barycentre de $(A,1)$ et $(B,3)$, donc, pour tout $k$, $E$ est également barycentre de $(A,k)$ et $(B,3k)$. La dernière relation que $E$ est barycentre de $(A,-(2+a))$ et $(B,3)$ : tu peux seulement en déduire qu'il existe $k$ tel que $-(2+a) = k$ et $a = 3k$, d'où une système de 2 équations à deux inconnues, $a$ et $k$, dont une seule t'intéresses, $a$.
    Tu n'as plus qu'à résoudre ce système.

    Il est peut-être plus simple de partir de la relation
    $$\overrightarrow{AE} = \dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}‚$$
    pour établir directement la relation 2 avec la valeur idoine de $a$.
  • merci gb pour votre réponse.
    en effet en utilisant la relation AE = 3/4 AB j'avais trouvé a=3/2

    mais je ne comprend vraiment pas pourquoi je n'ai pas le droit de faire comme je disais. comparer les deux relations. je comprend qu'elle ne fournissent pas les m^mes informations : La relation 1 exprime que E est barycentre de ..., et la 2 que A est barycentre de ..
    mais ensuite on à bien des égalités vectorielles qui portent sur les m^mes points.
    1) donc pourquoi ne peut on pas comparer directement ?
    2) pourquoi a t'on besoin de ce réel k pour pouvoir comparer ?
    3) et finalement la relation AE = 3/4 AB issue de 1 ) est elle aussi un mode de comparaison avec AE = 3/2 AB issue de 2). qui permet de trouver a. où est la différence.
    merci pour votre aide.
  • Si je multiplie la relation
    $$\overrightarrow{EA} + 3\overrightarrow{EB} = \vec{0}$$
    par 7, j'obtiens :
    $$7\overrightarrow{EA} + 21\overrightarrow{EB} = \vec{0},$$
    si je la multiplie par 10, j'abtiens
    $$10\overrightarrow{EA} + 30\overrightarrow{EB} = \vec{0}.$$

    Lorsque je compare la relation
    $$-(2+a)\overrightarrow{EA} + a\overrightarrow{AB} = \vec{0},$$
    à ces relations, pourquoi aurais-je
    $$\left\{ \begin{array}{l} -(2+a) = 1 \\ a = 3 \end{array} \right.$$
    plutôt que
    $$\left\{ \begin{array}{l} -(2+a) = 3 \\ a = 21 \end{array} \right.$$
    ou
    $$\left\{ \begin{array}{l} -(2+a) = 10 \\ a = 30 \end{array} \right. ?$$
  • merci gb ça devient clair, je crois.

    mais pourquoi n'est ce pas pareil quand on raisonne sur les relations
    AE = 3/4 AB qui vient de 1
    et AE = a/2 AB qui vient de 2
    ici on introduit pas de réel k.. on a directement a/2 = 3/4 donc a=3/2
    est ce parce que l'on a pas un système à écrire ?
    en fait, c'est pas encore complètement clair
  • Lorsque tu écris la relation sous la forme
    $$\alpha\overrightarrow{AE} + \beta \overrightarrow{AB} = \vec{0},$$
    il n'y pas unicité de $(\alpha,\beta)$, mais si tu écris sous la forme
    $$\overrightarrow{AE} = \dfrac{a}{2}\overrightarrow{AB} \iff \overrightarrow{AE} - \dfrac{a}{2} \overrightarrow{AB} = \vec{0},$$
    tu imposes la valeur du coefficient $\alpha = 1$, et alors il y a unicité de $\beta = \dfrac{a}{2}$, dont tu sais par ailleurs que $\beta = \dfrac{3}{4}$ satisfait la relation voulue. Tu peux alors en déduire $\dfrac{a}{2} = \dfrac{3}{4}$.
  • merci bcp pour ces explications claires.
  • stfj
    Modifié (7 Jul)
    Par définition, $E\doteq \frac{1A+3B}{4}$. Donc $E-A=\frac34(B-A)$ et $A=\frac{4E-3B}{1}=\frac{2E-\frac32B}{\frac12}$. Donc $a=\color{red}-\color{black}\frac32$https://www.geogebra.org/classic/uuqf9qfu

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