représentations quadratiques ternaires ...

dans Arithmétique
Titre initial : représentations quadratiques ternaires "octaviennes" de naturels impairs
Bonsoir,
J'ai soulevé dans un post antérieur diverses questions relatives aux représentations quadratiques ternaires de naturels impairs afin de rechercher une démonstration élémentaire (par exemple style par point fixe d'une involution sur un ensemble fini, voir Don Zagier - 1990 - telle qu'indiquée page 589 de "Toute l'Algèbre de la Licence" J-P Escofier -Dunod).
Ainsi la forme a^2 + b^2 + c^2 pour les naturels congrus à 3 modulo 8 (ou 3M8). La démonstration en est connue
Mais aussi la forme a^2 - b^2 - c^2 pour les naturels 7M8 avec la contrainte supplémentaire b^2+c^2 < au naturel donné.
Ou encore la forme a^2 + 2b^2 + 4c^2 pour tous les impairs (aussi démontrée)
Ou enfin la forme a^2 - 2b^2 + 4c^2 pour tous les impairs avec la contrainte 2b^2< au naturel donné.
On observera que "a" est toujours impair (contrainte implicite).
Chacune des catégories de naturels impairs selon le modulo 8 se trouve donc vérifier l'une ou l'autre de ces représentations selon le cas. La question que je me pose est de savoir si pour tout i impair > 10 il existe un entier j<i tel que i-j = 8k et tel qu'il existe une représentation de j (avec les contraintes demandées) où "a" terme impair de cette représentation vérifie aussi a^2 = d^2-8k (puisque 8k est toujours différence de deux carrés impairs). C'est cette propriété que je dénomme "octavienne" (elle a peut-être un autre nom ?). On sent alors pointer une récurrence (pour le moment cachée) puisque cela est trivialement vrai pour 1, 3, 5, 7, 9.
La question n'est pas dénuée d'intérêt car on pourrait avoir une rupture dans une telle "récurrence" pour un nombre i donné par exemple premier n'admettant qu'une unique décomposition en a^2+4b^2, a^2+2b^2 ou a^2-2b^2 selon son modulo 8 et aucune autre d'une des formes ci-dessus. C'est donc une hypothèse plus forte a priori que la seule existence d'une solution représentative. Attention il ne s'agit pas de se cantonner pour j aux seules solutions récurrentes si l'on veut tester le machin, car dans les 3M8 vis à vis de la première forme on ne pourrait pas représenter 35 sans recourir au fait que 27 = 5^2+1^2+1^2.
J'ignore s'il existe des pistes chez Eisenstein ou chez Smith ou d'autres auteurs permettant de répondre.
Bonne réflexion.
Euzenius
Bonsoir,
J'ai soulevé dans un post antérieur diverses questions relatives aux représentations quadratiques ternaires de naturels impairs afin de rechercher une démonstration élémentaire (par exemple style par point fixe d'une involution sur un ensemble fini, voir Don Zagier - 1990 - telle qu'indiquée page 589 de "Toute l'Algèbre de la Licence" J-P Escofier -Dunod).
Ainsi la forme a^2 + b^2 + c^2 pour les naturels congrus à 3 modulo 8 (ou 3M8). La démonstration en est connue
Mais aussi la forme a^2 - b^2 - c^2 pour les naturels 7M8 avec la contrainte supplémentaire b^2+c^2 < au naturel donné.
Ou encore la forme a^2 + 2b^2 + 4c^2 pour tous les impairs (aussi démontrée)
Ou enfin la forme a^2 - 2b^2 + 4c^2 pour tous les impairs avec la contrainte 2b^2< au naturel donné.
On observera que "a" est toujours impair (contrainte implicite).
Chacune des catégories de naturels impairs selon le modulo 8 se trouve donc vérifier l'une ou l'autre de ces représentations selon le cas. La question que je me pose est de savoir si pour tout i impair > 10 il existe un entier j<i tel que i-j = 8k et tel qu'il existe une représentation de j (avec les contraintes demandées) où "a" terme impair de cette représentation vérifie aussi a^2 = d^2-8k (puisque 8k est toujours différence de deux carrés impairs). C'est cette propriété que je dénomme "octavienne" (elle a peut-être un autre nom ?). On sent alors pointer une récurrence (pour le moment cachée) puisque cela est trivialement vrai pour 1, 3, 5, 7, 9.
La question n'est pas dénuée d'intérêt car on pourrait avoir une rupture dans une telle "récurrence" pour un nombre i donné par exemple premier n'admettant qu'une unique décomposition en a^2+4b^2, a^2+2b^2 ou a^2-2b^2 selon son modulo 8 et aucune autre d'une des formes ci-dessus. C'est donc une hypothèse plus forte a priori que la seule existence d'une solution représentative. Attention il ne s'agit pas de se cantonner pour j aux seules solutions récurrentes si l'on veut tester le machin, car dans les 3M8 vis à vis de la première forme on ne pourrait pas représenter 35 sans recourir au fait que 27 = 5^2+1^2+1^2.
J'ignore s'il existe des pistes chez Eisenstein ou chez Smith ou d'autres auteurs permettant de répondre.
Bonne réflexion.
Euzenius
Réponses
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L'exemple des nombres 3M8 (aux permutations près)
3 = 1^2+1^2+1^2 trivialement (on n'insistera pas sur l'aspect philosophique d'une telle préscience a priori...) noté aussi R(1,1,1). On notera aussi Q(u,v) = u^2-v^2 pour éviter de trainer des carrés...
11 = R(3,1,1) = 1+8 = R(1,1,1)+Q(3,1)
19 = R(3,1,3) = 11+8 = R(1,1,3)+Q(3,1)
27 = R(3,3,3) = 19+8 = R(1,3,3)+Q(3,1)
27 = R(5,1,1) = 11+16 = R(3,1,1)+Q(5,3)
35 = R(3,5,1) = 27+8 = R(1,5,1)+Q(3,1)
35 = R(5,3,1) = 19+16 = R(3,3,1)+Q(5,3)
43 = R(3,5,3) = 35+8 = R(1,5,3)+Q(3,1)
43 = R(5,3,3) = 27+16 = R(3,3,3)+Q(5,3)
43 = R(5,3,3) = 19+24 = R(1,3,3)+Q(5,1)
Etc.. et on voit bien que toute représentation d'un 3M8 i, dès lors qu'elle existe, découle d'une représentation d'un 3M8 j<i (la contrainte a, b, c impairs étant toujours respectée de facto puisque R(a,b,c) = R(a',b,c)+Q(a,a') avec a' impair < a et a peut être supposé > 1 dès lors que i>3).
Bonne réflexion...
Euzenius
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