series entieres

pat4

bonjour a tous, je suis en train de rediger une feuille d'exos sur les series entieres (pour l'agreg interne) je ne manque pas d'exos, mais vous en avez surement de jolis que je ne possede pas. vos propositions seront les bienvenues. c'est la rentree et il faut une belle feuille pour les candidats.
Merci d'avance.

Eric1

Théorème tauberien.

On suppose que le rayon de convergence de $f(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ est égal à $1$. Si $\lim\limits_{n\to\infty}na_n=0$ et $\lim\limits_{x\to1^-}f(x)=L$, $L\in\R$, alors $\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n=L$.

Donner un exemple montrant que l'hypothèse $\lim\limits_{n\to\infty}na_n=0$ ne peut être omise.


On suppose que $\{a_n\}$ est une suite strictement positive et que le rayon de convergence de $f(x)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_nx^n$ est égal à $1$. Montrer que $\lim\limits_{x\to1^-}f(x)$ existe et est finie si et sulement si $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$ converge.


Généralisation du théorème taubérien.
On suppose que le rayon de convergence de $f(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ est égal à $1$. Si $\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{a_1+2a_2+\dotsb+na_n}{n}=0$ et $\lim\limits_{x\to1^-}f(x)=L$, $L\in\R$, alors $\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n=L$.


On suppose que le rayon de convergence de $f(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ est égal à $1$. Montrer que si $\sum\limits_{n=1}^{\infty}na_n^2$ converge et $\lim\limits_{x\to1^-}f(x)=L$, $L\in\R$, alors $\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n=L$.



Tous ces exos proviennent de Problems in Mathematical Analysis II, Continuity and Differentiation, W.J. Kaczor, M.T. Nowak, publié par l'AMS. Ce bouquin (ainsi que le volume I) est d'ailleurs une mine d'exo.

pat4

bonjour, je reitere mes remerciements a eric car la reponse a son message semble ne pas etre passee. jen profitais pour lui dire que le tome 3 de l'xellente serie (Problems in Mathematical Analysis , W.J. Kaczor, M.T. Nowak) viens de sortir sur l'integration. je joint a ce message ma feuille encore en chantier plus un devoir tire d'un probleme pose a un concours cette anneee. si qqun est interesse par des fichiers latex je peux les envoyer

Eric1

J'ai repréré que le volume 3 est sorti mais je vais attendre que l'AMS refasse une promo frais d'envoi gratuit (la précédente était en mai) pour l'acheter ainsi que deux ou trois autres bouquins.

Je viens de regarder ta liste d'exo je pense que ce serait une bonne idée d'ajouter un exo sur les séries génératrices. C'est un concept assez important et somme toute peu traité dans les bouquins de prépa agreg. Ca ne peut donc que plaire à un jury d'agreg. Une autre application sortant des sentiers battus est la détermination du nombre de solutions d'une équation diophantienne à l'aide de développement en SE.

Pour des exemples, voir Polya et Szegö, Problems and Theorems in Analysis, Vol. I, Springer.

Eric1

autant pour moi, tu as inclus un exo sur la suite de Fibo.

Un autre exemple pris dans L.C. Larson, Problem-Solving through Problems, Springer.

On considère la suite $T_n$ définie par $T_0=1$ et pour $n\geq1$,
\begin{equation*}
T_n=T_0T_{n-1}+T_1T_{n-2}+\dotsb+T_{n-1}T_0.
\end{equation*}
Exprimer $T_n$ en fonction de $n$.

Et en question subsidiaire, traiter le même problème par une approche combinatoire (de toute façon, si vous ne le faites pas, le jury ne manquera pas de vous le demander ...)