ordinal

Bonjour,

Quelle différence y a t il entre un ordinal et un cardinal ? j'ai vu quelques notions en cours sur les cardinaux mais jamais rien sur les ordinaux.

codialement,

Réponses

  • Informellement :

    Un cardinal est une classe d'isomorphie dans la catégorie des ensembles : deux ensembles sont isomorphes (c.a.d. il existe une bijection de l'un sur l'autre) si et seulement s'ils ont le même cardinal.

    Un ordinal est une classe d'isomorphie dans la catégorie des ensembles bien ordonnés : deux ensembles bien ordonnés sont isomorphes (c.a.d. il existe une bijection croissante de l'un sur l'autre) si et seulement s'ils ont le même ordinal.

    Voici le dessin d'un ensemble infini dénombrable :
    Omega_squared.png

    On peut donc considérer (mais c'est tordu) que c'est un dessin de N.

    Mais, en tant qu'ensemble ordonné, il n'est pas isomorphe à N : ça se voit bien. C'est l'ordinal N^2.
  • PB a écrit:
    Un cardinal est une classe d'isomorphie dans la catégorie des ensembles : deux ensembles sont isomorphes (c.a.d. il existe une bijection de l'un sur l'autre) si et seulement s'ils ont le même cardinal.

    C'est une des deux définitions.
    On peut aussi dire, afin qu'un cardinal soit un ensemble, qu'un cardinal est un élément minimal d'une telle classe (c'est ça qui est bien avec les ordinaux, un tel élément minimal existe toujours et est unique). Pour cette seconde définition, le cardinal de l'ensemble qu'à dessiné PB est N (si N est bien défini comme le plus petit ordinal limite).
  • > un cardinal est un élément minimal
    > d'une telle classe

    En quel sens ce cardinal est-il minimal ? je croyais qu'il était unique,
    en tant que collection de tous les ensembles en bijection l'un l'autre.

    autre question: a-t-on quelque chose de semblable au théorème de Cantor-Bernstein
    pour les ordinaux ?

    (le thm de Cantor-Bernstein dit que pour deux ensembles non vides X et Y quelconques, il y a soit une injection non surjective de X dans Y (X < Y), soit une injection non surjective de Y dans X (Y<X),soit une biection de X sur Y (X=Y))
  • Pour moi, Cantor-Bernstein est un autre résultat, mais peu importe...

    Avec les ordinaux, tout se passe très bien (encore mieux que dans la catégorie des ensembles) :

    - Si deux ordinaux sont isomorphes, alors l'isomorphisme est unique.
    - De deux ordinaux, l'un est toujours isomorphe à un segment initial de l'autre.
    - La relation "x est isomorphe à un segment initial de y" (segment initial = "convexe qui contient le min") fait en quelque de la catégorie des ordinaux un "ensemble" (qui n'en est pas un parce que trop gros) bien ordonné.

    Et le mieux c'est que les démonstrations sont simples !
  • > En quel sens ce cardinal est-il minimal ?
    Au sens de la relation d'ordre entre ordinaux (appartenance)

    > je croyais qu'il était unique,
    > en tant que collection de tous les ensembles en
    > bijection l'un l'autre.
    Il existe une identification canonique entre les classes d'équipotence (ce dont tu parles) et un représentant spécifique de ces classes (l'ordinal mimnimal), cette deuxième façon de voir est bien plus facile à manipuler. AC est nécessaire pour en affirmer l'existence.


    > autre question: a-t-on quelque chose de semblable
    > au théorème de Cantor-Bernstein
    > pour les ordinaux ?

    Les ordinaux sont des ensembles, donc ils vérifient le théorème de Cantor Bernstein, mais ils font même mieux : ils vérifient que deux ordinaux étant donnés, l'un est segment initial de l'autre.
  • Un ordinal est un ensemble $E$ tel que:

    1) pour tout $x,y$, si $x\in E$ et $y\in x$ alors $y\in E$
    2) Toute partie $A$ non vide de $E$ contient un élément $m\in A$ tel que pour tout $x\in A$: $x=m$ ou $m\in x$

    Il se trouve (à justifier) qu'étant donné 2 ordinaux différents $x,y$, ou bien $x\in y$ ou bien $y\in x$. Il se trouve aussi qu'il n'existe pas d'ensemble de tous les ordinaux (sinon sa réunion devrait contradictoirement être un ordinal)

    Du coup (axiome) la collection des ordinaux est suffisamment grande* pour que pour tout ensemble $E$ il existe un ordinal $\alpha$ et une injection de $E$ dans $\alpha$ (affirmer ça implique l'axiome du choix)

    Le plus petit ordinal tel qu'il existe une injection de $E$ dans lui s'appelle le {\it cardinal} de $E$ et ça "va bien avec" l'autre définition des cadinaux (à justifier)



    * J'aurais dû écrire: pour que pour tout $E$ il existe une injection de $E$ dans un ensemble d'ordinaux, mais la réunion d'un tel ensemble est un ordinal "convenablement grand"
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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