homographies de la droite complexe. Applications

dans Concours et Examens
Bonjour
il ne vous aura pas échappé que le titre de ce fil est celui d'une leçon d'agreg externe.
Je ne suis pas sûr d'avoir bien compris le titre. QUand on parle d'homographie complexe on se place dans le plan complexe (avec un pont à l'infini) pas sur une droite.
Quant aux applications aux mathématiques alors là c'est une autre histoire...
il ne vous aura pas échappé que le titre de ce fil est celui d'une leçon d'agreg externe.
Je ne suis pas sûr d'avoir bien compris le titre. QUand on parle d'homographie complexe on se place dans le plan complexe (avec un pont à l'infini) pas sur une droite.
Quant aux applications aux mathématiques alors là c'est une autre histoire...
Réponses
-
Une homographie intéressante z -> (z-i)/(z+i) (transformation de Cayley).
-
" QUand on parle d'homographie complexe on se place dans le plan complexe (avec un pont à l'infini) pas sur une droite. "
e=mc3 : attention ! Quand on parle du plan de la variable complexe, on identifie $|mathbb{C}$ a $|mathbb{R}^2$ ; on est alors dans un plan affine euclidien (reel). Par contre $\mathbb{C}$, c'est aussi la droite complexe (de meme que $|mathbb{R}$ est la droite reelle); effectivement cette droite complexe peut etre completee avec un point a l'infini pour obtenir la droite projective complexe, homeomorphe a une sphere (de meme que la droite reelle completee avec un point a l'infini donne la droite projective reelle, homeomorphe a un cercle).
Cordialement,
MC -
Merci Michel Coste
effectivement $dim_{\C}\C=1$
Mais on a tellement tendance à identifier $C$ à $\R^2$ que l'on en oublie que c'est de dimension 2 sur $\R$
Ceci étant on aurait pu écrire un libellé du genre "homographie de la variable complexe" ou encore "homographie du plan" (plan réel!) cela m'aurait moins frappé au premier abord, parce que tous les dessins que l'on voit sur le sujet..sont dans le plan... réel.
BOn maintenant concernant les applications,je ne vois pas trop où chercher -
Une nouvelle fois, attention :
"homographie du plan" (plan réel!) ne veut pas dire du tout la meme chose que "homographie de la droite complexe. C'est une difference du meme type qu'entre 'endomorphisme d'un plan vectoriel reel' et 'endomorphisme d'une droite vectorielle complexe'.
Pour les applications, tu vas certainement devoir parler aussi de birapport. Tu peux penser aussi au comportement des suites homographiques. Il y a pas mal de choses a dire sur cette lecon. Mais auparavant, je te conseille de regarder un bouquin qui parle d'homographies! Par exemple, le livre de geometrie de Michele Audin.
Cordialement,
MC -
Oui, mais si tu dis "homographie du plan réel", c'est pas la même chose qu'une homographie de la droite complexe... Un peu comme dire "applications $\C$-linéaires de $\C$ dans $\C$" ou "applications $\R$-linéaires de $\R^2$ dans $\R^2$"
-
Comme application sur cette jolie leçon, il ya aussi le groupe PGL2(C) qui est un groupe simple ou encore le groupe circulaire ...
Bon bouleau ... -
Ca change quoi écrire $f(z)=\frac{az+b}{cz+d}$ avec $z\in \C$
et $f(x,y)=\frac{a(x+iy)+b}{c(x+iy)+d}$ avec $(x,y)\in \R^2$
(j'ai la flemme d'écrire l'expression de f(x,y) sous la forme d'un couple de réels)
Je viens de découvrir la classification des homographies complexes. C'est intéressant.
POur les applications tu parles de birapport. Hormis le résultat de cours qui dit que les transformations qui conservent le birapport sont les homographies je ne vois pas à quoi ça peut servir.
Tu parles également des suites homographiques. Je ne comprends pas en quoi c'est une application.
D'une manière générale pour moi "applications" sous entend applications des résultats issus du cours sur les homographies: conservation du birapport, conformité, structure de groupe, classes de conjugaison, classification. Est ce que le fait d'avoir tout cela permet par exemple de démontrer de manière plus efficace des résultats de géométrie autrement pas évidents du tout. Et qu'en est il des applications à d'autres domaines des mathématiques. -
La transformation que je t'ai indiquée plus haut permet d'identifier l'espace de Hardy du demi plan supérieur et l'espace de hardy du disque.
(ce n'est pas une application des homographies mais d'une homographie...) -
Et identifier un demi plan à un disque ça peut servir à quoi?
-
Un peu bougon, e=mc3 ?
e=mc3 ecrivait:
> Ca change quoi écrire $f(z)=\frac{az+b}{cz+d}$
> avec $z\in \C$
> et $f(x,y)=\frac{a(x+iy)+b}{c(x+iy)+d}$ avec
> $(x,y)\in \R^2$
> (j'ai la flemme d'écrire l'expression de f(x,y)
> sous la forme d'un couple de réels)
Je crois que tu ne vois pas bien ce qu'est une homographie du plan (projectif). Un conseil : lis Audin !
> POur les applications tu parles de birapport.
> Hormis le résultat de cours qui dit que les
> transformations qui conservent le birapport sont
> les homographies je ne vois pas à quoi ça peut
> servir.
Par exemple : as-tu vu aussi la relation entre le fait que le birapport de quatre points soit reel et le fait qu'ils soient cocycliques ou alignes ? (Ceci se passe dans $\mathbb{C}$, identifie a un plan euclidien). Apres, on peut parler facilement de comment une homographie transforme les cercles et les droites.
> Tu parles également des suites homographiques. Je
> ne comprends pas en quoi c'est une application.
Si tu as etudie les points fixes d'une homographie et l'ecriture d'une homographie en fonction de ses points fixes, tu en deduis immediatement le comportement d'une suite recurrente donnee par une homographie.
Il ne s'agit que de quelques pistes. A toi de faire le boulot, si tu veux preparer cette lecon de facon utile.
Cordialement,
MC -
Et identifier un demi plan à un disque ça peut servir à quoi?
"Faire des mathématiques, c'est donner le même nom à des choses différentes" (Poincaré) -
L'expression "droite complexe" sous-entend "droite projective complexe" qui est $\mathbb{P}^1(\C)$ (où $\C$ est vu comme un $\R$-espace vectoriel de dimension 2).
-
Si je ne me trompe pas, $\mathbb{P}^{1}(\mathbb{C})=\mathbb{P}(\mathbb{C}^2)$, donc il faut plutot voir $\mathbb{C}$ comme un $\mathbb{C}$ espace vectoriel.
-
Dans le titre il y a le mot complexe.
Doit on voire uniquement les résultats propres aux homographies "complexe"
Parce que les homographies en géométrie on les rencontre partout. Par exemple là je suis en train de lire qqchose sur les homographies de coniques -
DOit (peut) on parles des anti homographies et du groupe circulaire, des cas particuliers d'homographies (similitudes etc) ou d'anti homograhie (inversion) dont les applications géométriques sont innonmbrables.
Pour en revenir aux coniques doit on parler d'axe d'homographie, de point de Frégier etc -
Bonsoir e=mc3.
Des homographies, tu en a entre deux espaces projectifs de même dimension sur un même corps. Il s'agit dans ton sujet de la droite projective complexe, donc, les applications définies par le passage au quotient des applications linéaires : $(z,z') \mapsto (a\,z + b\,z',c\,z + d\,z')$ avec $(z,z') \neq (0,0)$.
Bruno -
En fait, je voulais dire $\mathbb{P} (\C)$ , avec $\C$ vu en tant qu'espace vectoriel de dim 2 sur $\R$.
La notation $\mathbb{P} (E)$ est bien valable pour tout espace vetoriel de dimension finie je crois. -
Bonsoir Bruno
-A priori on peut définir des homographies dans une espace affine ou vectoriel sans point à l'infini
-concernant les homograhies sur les coniques il s'agit de bijection sur la conique conservant le birapport. Il n'y a pas de raison que ce soit la restriction d'une homographie du plan. Est ce que l'on peut la prolonger en une homographie du plan. Le résultat concernant les homographies involutives d'une conique et le point de Frégier m'amène en effet à me poser ce genre de question, car les seules homographies involutives du plan sont les conjugaisons (on pourrait rajouter les inversions si l'on prend en compte les anti homographies) et j'ai alors du mal à voir ce que serait ce point de Frégier
-Au passage qu'arrive-t-il au birapport pour les anti homographies) -
Bonjour e=mc3.
Les homographies sont les morphismes naturels des espaces projectifs. Si on les définit sur les espaces affines (ou vectoriels) c'est parce que, je ne t'apprends rien, tout espace affine se plonge de façon canonique dans un espace projectif par adjonction d'un hyperplan de l'infini. Les homographies du complété projectif qui stabilisent l'hyperplan sont les transformations affines de l'espace affine de départ et les autres homographies du complété sont appelées homographies de l'espace affine mais c'est un abus de langage puisque ce ne sont pas des applications.
Pour répondre au prolongement au plan des homographies entre coniques je n'ai pas la réponse sous la main. Dans le cas d'une involution, c'est immédiat, l'homologie harmonique d'axe la polaire du point de Frégier, de pôle le point Frégier convient.
Bruno
P.S. Mais j'y réfléchis -
Bonjour,
Le bouquin de geometrie projective de Sidler contient plein de renseignements sur les homographies d'une conique. Bruno a explique comment prolonger en une homographie du plan pour une involution. Mais (Sidler, p.55) "Toute homographie d'une conique propre sur elle-même peut se décomposer en produit de deux involutions". (C'est vrai pour les homographies d'une droite projective, et on utilise une parametrisation rationnelle de la conique pour se ramener à ce cas).
Sinon e=mc3; il me semble que tu n'es toujours pas au clair en ce qui concerne le homographies du plan : je cite "les seules homographies involutives du plan sont les conjugaisons (on pourrait rajouter les inversions si l'on prend en compte les anti homographies)".
Cordialement,
MC -
Je crois que je me suis mal exprimé et ça a l'air peu clair quand je me relis: Ce que je vouslais dire c'est que z->1/z est évidemment une homographie involutive mais ça ne s'appelle pas une inversion (c'est une inversion indirecte d'après ce que j'ai pu lire)
-
e=mc3 : ce n'est pas le problème que je soulevais. Une homographie du genre z->1/z est une homographie de la DROITE projective. Ca n'a donc pas grand chose à voir avec le probleme de prolonger une homographie sur une conique en une homographie du PLAN projectif.
A part ça, quelques autres pistes au sujet des applications :
- dans la ligne de l'action des homographies sur les cercles, l'alternative de Steiner.
- equations de Ricatti (il y a quelque chose là-dessus dans Lelong-Ferrand Arnaudies tome 4, je crois).
- Rotations de l'espace affine euclidien et sous-groupe PSU(2) du groupe des homographies, via la projection stéréographique.
Cordialement,
MC -
re-Bonjour.
Michel Costes, visiblement rentré de Pise, a répondu à la question. Voici la solution à laquelle j'étais arrivé :
Soient A, B, C trois points de la conique Q d'images respectives par une homographie s A', B' et C' trois points de la conique Q'.
Désignons par O (respectivement O') le point d'intersection des tangentes à Q (resp. Q') en A et B (resp. A' et B'). Les points O, A, B, C (resp O',A',B',C') constituent un repère projectif du plan de chacune des deux coniques. Il existe une unique homographie h qui envoie O, A, B, C sur O', A', B', C'. Manifestement, l'image de (OA) est (O'A'), celle de (OB) est (O'B') et celle de (AB) est (A'B'). Il s'ensuit que l'image par h de Q est l'unique conique tangente en A' à (O'A'), en B' à (O'B') et passant par C' ; donc la conique Q' est l'image par h de la conique Q. Dernier point, il est facile de vérifier que la restriction de h à Q conserve le birapport, c'est donc une homographie de Q sur Q'. Comme elle coïncide avec s sur un repère projectif de Q, la restriction de h à Q est simplement s.
Bruno -
Michel Costes
décidément je suis compact les compact de $\R^n$ (fermé et borné!. Une homographie de la droite projecetive complexe est de la forme $z\rightarrow \frac{az+b}{cz+d}$. QUelle est la forme analytique d'une homographie du PLAN projectif? -
Si on continue à me gratifier d'un s supplémentaire, je vais mordre. Je ne suis ni Tarnais, ni Aveyronnais ! ;-)
C'est sans doute bon, avant de passer au plan, de regarder les homographies de la droite projective d'un point de vue homogène. Un point de la droite projective est repéré par des coordonnées homogènes $(x,y)$, pas nulles toutes les deux, définies à un facteur non nul près. Quand on travaille sur la droite projective, il est plus commode d'utiliser l'abscisse projective $z=x/y$ qui elle est définie de manière unique, avec la convention que $z=\infty$ quand $y=0$.
Une homographie vient d'un isomorphisme linéaire :
$$\begin{pmatrix} x\\ y\end{pmatrix} \longmapsto \begin{pmatrix} ax+by\\ cx+dy\end{pmatrix}\;,$$
ce qui donne bien en passant à l'abscisse projective
$$ z \longmapsto \frac{az+b}{cz+d}\;.$$
Un point du plan projectif est repéré par des coordonnées homogènes $(x_1,x_2,x_3)$ pas toutes les trois nulles, définies à un facteur non nul près. Une homographie vient encore d'un isomorphisme linéaire :
$$\begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3\end{pmatrix} \longmapsto \begin{pmatrix} a_{1,1}x_1+a_{1,2}x_2+a_{1,3}x_3\\
a_{2,1}x_1+a_{2,2}x_2+a_{2,3}x_3\\
a_{3,1}x_1+a_{3,2}x_2+a_{3,3}x_3
\end{pmatrix}\;.$$
Dans le plan, il n'y a plus d'"abscisse projective" pour réécrire ça.
De manière générale, si $E$ est un espace vectoriel et $P(E)$ l'espace projectif associé (c.-à-d. le quotient de $E\setminus \{0\}$ par la relation d'équivalence $x \sim y$ quand il existe $\lambda$ scalaire non nul tel que $y=\lambda x$), une homographie de $P(E)$ est une bijection $P(f){:}P(E)\to P(E)$ induite par passage au quotient par un isomorphisme linéaire $f:E\to E$.
Je ne pense pas que tu sois compact; par contre, tu manques sans doute de familiarité avec les notions de base de géométrie projective, qui font aussi partie du programme de l'agreg. C'est le lot commun de beaucoup d'agrégatifs. Potasse un bouquin comme celui de Michele Audin.
Cordialement,
MC -
Pour Michel Coste.
Mes plus sincères excuses ! !
Bruno -
Une homographie transforme-t-elle une conique en une conique ?
Sur une photo, par exemple : l'image d'un cercle sera-t-elle une conique projective ?
Ça me semble pas évident.... -
Bonjour fourbi.
Il faut faire attention avec l'image intellectuelle de la photo (sans jeu de mots). Une photo représente une portion de l'espace sur une portion de plan et, avec les déformations des petites focales, il n'y a pas conservation des droites. Ce ne peut donc pas être un modèle convenable d'homographie.
Maintenant pour la conservation des coniques, ou autres courbes, une homographie s'exprime en termes de coordonnées homogènes par une transformation linéaires de celles-ci, donc une homographie conserve le degré des courbes et des surfaces (etc) algébriques. Bref, l'image d'une conique par une homographie est une conique.
On a même quelque chose de plus précis : l'image d'une conique propre par une homographie est une conique propre et, réciproquement, si l'on prend deux coniques propres réelles ou complexes, il y a toujours une homographie qui transforme la première en la seconde.
Bruno -
Bonjour,
Si prendre en photo, c'est ça : -
Tien, revoilà Dürer !
Merci Michel.
Bruno -
Avec plaisir, comme on dit dans le Tarn (dont je ne suis pas originaire, sinon il y aurait un s à la fin de mon nom)
MC -
Bonjour,
Je remonte ce fil car je me pose la question suivante : c'est quoi les courbes images des coniques par les homographies de la droite complexe? Par exemple, ça ressemble à quoi l'image par $\frac{1}{z}$ d'une parabole (selon qu'elle passe par $0$ ou non)? -
Bonjour seub.
Une homographie de la droite complexe se traduit, dans le plan complexe par une composition des transformations suivantes : une translation, une inversion de pôle l'origine, une symétrie par rapport à la droite réelle, une translation, une similitude directe de centre l'origine.
Cela se voit en écrivant :$$z' = \frac{a\,z + b}{c\,z + d} = \frac a c\,\left(1 + \frac{bc -ad}{a\,(c\,z + d)}\right)$$Il reste donc à regarder l'effet de chaque transformation sur une conique du plan complexe. Les similitudes, directes ou non, transforment une conique en une conique de même excentricité. Le seul problème vient de l'inversion.
Les formules de l'inversion de pôle $O$ et de puissance $k$ sont :
$$\begin{cases}X = \dfrac{k\,x}{x^2 + y^2} \\ Y =\dfrac{k\,y}{x^2 +y^2}\end{cases}$$
Prenons la conique d'équation :$ax^2 + 2bxy +cy^2 + 2dx + 2ey + f =0$ ;son image par l'inversion a pour équation cartésienne :
$$ak^2X^2 + 2bk^2XY + ck^2y^2 + 2k(dX+eY)(X^2 + Y^2) + f(X^2 + y^2)^2 = 0$$ce qui est l'équation d'une quartique bi circulaire sauf si $f =0$ auquel cas il s'agit d'une cubique.
On sait que l'inverse d'une parabole par rapport à l'un de ses points est une cissoïde, l'inverse d'une hyperbole par rapport à l'un de ses points est une strophoïde... Pour une ellipse, j'ai oublié le nom :-(. Quant à l'inverse d'une hyperbole par rapport à son centre c'est une lemniscate de Bernoulli. -
Salut Bruno,
Merci beaucoup pour ta réponse très claire.
Si je veux en savoir plus, j'irai me renseigner sur les quartiques bicirculaires.
J'avais oublié que les mathématiciens ont autant bossé sur les courbes (algébriques du plan)
J'ai été amené à me poser cette question en passant un peu du coq à l'ane à partir de ma question sur les sous-variétés réelles (dans le forum géométrie). Je me demandais s'il existait une fonction holo qui envoie un petit arc de parabole sur un petit segment de droite, et le premier truc qui m'est venu à l'esprit (totalement faux) était de prendre une homographie. -
Pour la fonction holomorphe susceptible de transformer un arc de parabole en un segment de droite, je ne saurais pas te répondre... Bonne continuation.
Bruno -
J'ai trouvé la réponse à mon problème, je vais poster dans l'autre fil.
Dans le cas de la parabole, il suffit de prendre $z\mapsto z+iz^2$ (enfin pour envoyer un arc de parabole sur un segment, on prend la bijection réciproque de ça dans un voisinage de l'origine) -
Parfait.
Bruno -
Bonne nuit,
A l'intention des jeunes gens qui pourraient lire ce fil, contrairement à ce que semble croire e=mc3, il n'y a pas que dans lRn que les compacts sont fermés et bornés. C'est le cas de tous les espaces métriques. Mais la réciproque est fausse, elle. (*)
Par ailleurs, l'homographie de Cayley A l---> (A - iI)(A + i I)-1 (I: identité d'un Hilbert) a une propriété remarquable: elle permet de ramener (je simplifie ...) la théorie spectrale des opérateurs non bornés à celle des opérateurs bornés.
Bien cordialement.
(*) e=mc3 aurait donc dû dire "Je suis comme un compact métrique: fermé et borné". Jolie formule, à part ça.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 165.6K Toutes les catégories
- 65 Collège/Lycée
- 22.2K Algèbre
- 37.7K Analyse
- 6.3K Arithmétique
- 61 Catégories et structures
- 1.1K Combinatoire et Graphes
- 13 Sciences des données
- 5.1K Concours et Examens
- 26 CultureMath
- 51 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.8K Géométrie
- 86 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 79 Informatique théorique
- 3.9K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 29 Mathématiques et finance
- 344 Mathématiques et Physique
- 5K Mathématiques et Société
- 3.4K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10.1K Probabilités, théorie de la mesure
- 805 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.8K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres