naturels 4k+3, plus précisément 8k+3 et 8k+7

dans Arithmétique
Bonjour,
Les nombres i congrus à 3 modulo 8 (ou 3M8) s'écrivent sous la forme :
i = x^2 + y^2 + z^2
avec x, y, z naturels impairs forcément.
Certains (notamment les nombres premiers) s'écrivent :
i a^2 + 2b^2
a et b naturels impairs forcément.
On sait par ailleurs que ces nombres s'écrivent tous sous la forme :
i = a^2 + 2b^2 + 4c^2
avec a, b naturels impairs et c pair obligatoirement.
Mais, à l'instar de
35 = 5^2+3^2+1^2 = 1^2 + 2.3^2 + 4.2^2 ou
91 = 9^2+3^2+1^2 = 5^2 + 2.1^2 + 4.4^2 etc
qui n'ont aucune décomposition a^2+2b^2, peut-on toujours trouver une décomposition a^2+2b^2+4c^2 où c est une puissance de 2 ?
Bonne réflexion
Euzenius
Les nombres i congrus à 3 modulo 8 (ou 3M8) s'écrivent sous la forme :
i = x^2 + y^2 + z^2
avec x, y, z naturels impairs forcément.
Certains (notamment les nombres premiers) s'écrivent :
i a^2 + 2b^2
a et b naturels impairs forcément.
On sait par ailleurs que ces nombres s'écrivent tous sous la forme :
i = a^2 + 2b^2 + 4c^2
avec a, b naturels impairs et c pair obligatoirement.
Mais, à l'instar de
35 = 5^2+3^2+1^2 = 1^2 + 2.3^2 + 4.2^2 ou
91 = 9^2+3^2+1^2 = 5^2 + 2.1^2 + 4.4^2 etc
qui n'ont aucune décomposition a^2+2b^2, peut-on toujours trouver une décomposition a^2+2b^2+4c^2 où c est une puissance de 2 ?
Bonne réflexion
Euzenius
Réponses
-
Il me semble qu'avec 11 c'est impossible. Ou est-ce que je delire ?
-
11=3²+1²+1², non ?The real danger is not that computers will begin to think like men, but that men will begin to think like computers.
-- Harris, Sidney J. -
Bonsoir,
$11 = 3^2 + 2.1^2 + 4*0^2$ si j'ai bien compris l'énnoncé, en revanche :
Pour 1659, les seules décompositions (i, a, b, c) sont :
1659, 3, 5, 20
1659, 3, 25, 10
1659, 5, 13, 18
1659, 5, 23, 12
1659, 11, 11, 18
1659, 19, 1, 18
1659, 19, 19, 12
1659, 29, 11, 12
Il n'y en a aucune ou c est une puissance de 2. -
Bonsoir
Effectivement, merci pour la rapidité de réaction, mais comme 1659 = 3x7x79, on pourrait ne s'intéresser qu'aux 3M8 non divisibles par les précédents et par les premiers 1M8 (congru à 1 mod 8) donc aux 3M8 qui sont le produit d'un premier 5M8 (congru à 5 mod 8) et d'un premier 7M8. ce que sont 35 et 91. Mais bon...
... je pense qu'il est plus intéressant de vérifier que tout naturel i, 7M8, est de la forme :
i = x^2 - y^2 - z^2
x, y, z impairs vérifiant en outre y^2+z^2 < i
(ainsi 15 = 5^2-3^2-1^2 et 3^2+1^2 = 10 < 15 et cela est vrai pour tout premier 7M8 puisque on a même y=z - voir un exo classique que l'on trouve par exemple dans Algèbre de Lelong-Ferrand)
Euzenius -
petite liste de 8k+7 ( ** premier, * non premier mais a^2 - 2b^2) :
7 = 3^2 - 1^2 - 1^2 **
15 = 5^2 - 3^2 - 1^2
23 = 5^2 - 1^2 - 1^2 **
31 = 7^2 - 3^2 - 3^2 **
39 = 7^2 - 3^2 - 1^2
47 = 7^2 - 1^2 - 1^2 **
55 = 9^2 - 5^2 - 1^2
63 = 9^2 - 3^2 - 3^2 *
71 = 11^2 - 5^2 - 5^2 **
79 = 9^2 - 1^2 - 1^2 **
87 = 11^2 - 5^2 - 3^2
95 = 11^2 - 5^2 - 1^2
103 = 11^2 - 3^2 - 3^2 **
111 = 11^2 - 3^2 - 1^2
119 = 11^2 - 1^2 - 1^2 *
127 = 15^2 - 7^2 - 7^2 **
pour la mise en bouche...
Euzenius -
Bonjour
Tout d'abord il serait souhaitable que l'administrateur accepte de bien vouloir fusionner ce post avec le précédent "nombres 8k+3". Ces posts ont toujours pour but d'attirer l'attention sur la double écriture des naturels impairs sous forme de quatre carrés et sous la forme a^2+2b^2+4c^2
Il est démontré que tout naturel 8k+3 est somme de trois carrés impairs et que certains dont tous les premiers sont de la forme a^2+2b^2 ce qui est une forme particulière de 3 carrés impairs.
Il est possible de démontrer que les premiers 8k+7 et 8k+1 (et leurs divers produits donc) sont de la forme a^2-2b^2 (a et b non nuls et premiers entre eux, décomposition dite non triviale et primitive respectivement).
On conjecture ici (mais cela est peut-être démontré par ailleurs) que tout naturel i 8k+7 est de la forme i = x^2-y^2-z^2 avec x, y et z naturels impairs vérifiant en outre y^2+z^2 < i (donc i < x^2 < 2i), ce qui nous amène encore à l'autre conjecture tout nombre impair i s'écrit i = a^2 - 2b^2 + 4c^2 (on peut affiner le résultat avec certains nombres pairs mais cela n'est pas très important ici)
En y ajoutant le fait que les premiers 8k+5 et 8k+1 (donc 4k+1) ont une décompositon eulétienne de la forme a^2+4.c^2, on aboutit à une structure à trois pôles pour les naturels. Cela induit que si un naturel a une décomposition a^2+t.b^2 avec t = -2, 2 ou 4 il en est de même de ses facteurs et il a forcément une autre décomposition si l'un de ces facteurs n'est pas un carré parfait (mais dans ce cas la décomposition n'est pas primitive) et on retrouve d'ailleurs facilement ces facteurs propres - voir autres posts).
L'identité de Lagrange utilisée pour démontrer que les entiers sont sommes de quatre carrés est un cas particulier (t=1) de l'identité conservant la forme :
a^2+ t.b^2 + t^2.c^2 + t^3.d^2
qui a seize expressions (elle s'étend de manière octonionique avec un nombre d'expressions qui est selon mon souvenir incertain d'au moins 512 mais peut-être 2048).
Les cas t= -2, 2, -1 et 1 me semblent essentiels (on peut bien sûr s'amuser au prix d'une réfexion fastidieuse, laquelle est sans doute formatrice, à considerer d'autres valeur de t).
Qu'en pensez-vous ?
Euzenius
[Euzenius : veux-tu que je fusionne ce fil avec celui-ci http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?5,403858,403858 ?
Pourquoi n'as-tu pas posté ce message à la suite du fil en référence ? AD] -
Bonjour AD,
Oui si cela est possible avec le titre de celui ci qui élargit la question (c'est pourquoi je n'ai pas mis à la suite et je suis d'une incompétence totale pour modifier mes propres contributions).
[Fusion réalisée.AD]
La question du précédent fil sur l'existence ou non d'un élément carré supplémentaire puissance de 2 était en fait un peu rapide et est en lien avec la possibilité de "descendre" la représentation binaire d'un nombre (voire aussi en travaillant avec les représentations des nombres dyadiques) afin de parvenir à la forme a^2 + 2.b^2 + 4.c^2 pour tout impair (via l'unique décomposition d'une puissance de 2 supérieure ou égale à 8 en différence de deux carrés impairs si toutefois il existe une démonstration élémentaire d'une telle descente que l'on peut expérimenter sur les nombres 8k+3 - mais expérimenter n'est pas trouver la voie démonstrative qui, peut-être, est un leurre ce qui n'interdit pas de poser la question même si elle sort du cadre de l'agreg -)
Il est inutile de faire apparaitre le présent post si vous le jugiez également inutile.
Merci de votre intérêt.
Euzenius -
Bonjour
Dans mes écrits j'ai trouvé une relation à moi que j'avais établie entre la somme des diviseurs d'un nombre impair et le nombre en question.
Nous savons qu'un nombre pair est parfait si la somme de ses diviseurs lui est égale. Alors que pour un nombre impair il n'en existe pas.
Ma relation à moi est la suivante
Comment on peut appeler un nombre impair si
la somme de ses diviseurs est égale au tiers de ce nombre plus 4
Salut
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Bonjour!
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