Nombre pair de diviseurs

Yersinia Pestis

Titre initial : Nombre de diviseurs impaire

Bonjour,

Quels sont les nombres qui possèdent un nombre pair de diviseurs ?

Je pense que la réponse est : tous les nombres premiers et leurs multiples sauf les carrés parfaits.
Est-ce exact ?

D'avance merci pour les réponses.
Emmanuel

[Je me suis permis de changer ton titre pour qu'il soit plus en rapport avec ta question. AD]

borde

Tu as :

$\tau(n)$ est impair si et seulement si $n$ est un carré parfait

(voir mon livre exercice 3.10 p. 47).

Borde.

Yersinia Pestis

heuuuu, OLivier, c'est pour un élève de 3éme...

Qu'est-ce que c'est $\tau(n)$ ?
Merci pour ton aide.
Emmanuel

[La case LaTeX. AD]

Ritchie

tous les nombres premiers et leurs multiples sauf les carrés parfaits.

Bref, tous sauf les carrés parfaits.

La fonction tau donne justement le nombre de diviseurs d'un entier.

Ritchie

egoroff

Salut,

Si ton élève de troisième connaît la décomposition en facteurs premiers et qu'il est un peu éveillé, tu dois pouvoir lui faire comprendre sur des exemples qu'on construit un diviseur d'un nombre $n$ en choisissant un exposant pour chaque premier, inférieur à l'exposant qui apparaît dans $n$, et donc que le nombres de diviseurs d'un entier $n=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2} \cdots p_r^{\alpha_r}$ est $(\alpha_1+1)(\alpha_2+1) \cdots (\alpha_r+1)$. Ensuite pour la parité ça fournit une application sympa de "un produit est pair si et seulement si l'un des facteurs est pair". Et pour finir tu peux faire le lien avec le résultat donné par borde en expliquant pourquoi dire que les $\alpha_i$ sont tous pairs revient à dire que $n$ est un carré.

PS : Je précise que {\it mon} élève de 3ème ne serait pas assez douée pour comprendre ça à mon avis, mais tu as peut-être plus de chance...

borde

Oui, $\tau(n)$ est le nombre de diviseurs (positifs) de $n$.

Borde.

Yersinia Pestis

Bonjour,

merci pour vos réponses, mais il y a eu confusion suite à mon titre (corrigé depuis par Alain (merci)) :

je cherche les nombres qui ont un nombre PAIR de diviseurs.

Pour Richie : "Tous les multiples des nombres premiers, sauf les carrés parfaits. Bref, tous les carrés parfaits".... heu... quelque chose m'échappe.

Pour Borde (ou autre) : comment s'écrit cette fonction $\tau(n)$ ? J'ai cherché dans mon dico de maths (le Lionnais, and Co aux PUF) à "Tau" : rien.

Pour Egoroff : y a des choses que je ne comprends pas, mais là je suis crevé. Pour ce qui est des expo pairs => carré ça le fait! Pour "un produit est pair..." ça me semble un peu compliqué.

Bonne soirée.

Emmanuel

[La case Caoutchouc est cochée! )]

chris

Bonjour.
On peut aussi grouper les diviseurs de $n$ deux par deux : $d$ avec $n/d$. Cela te donne des paires sauf si $n$ est un carré. Pour un élève de troisième ça devrait aller.

borde

$\displaystyle {\tau(n) = \sum_{d \mid n} 1}$.

Borde.

Ritchie

Yersinia Pestis a écrit:

Pour Ritchie : "Tous les multiples des nombres premiers, sauf les carrés parfaits. Bref, tous les carrés parfaits".... heu... quelque chose m'échappe.

Il fallait lire : Bref, tous sauf les carrés parfaits.

Cordialement,

Ritchie

[corrigé]

Yersinia Pestis

Bonjour/bonsoir,

bon ça roule nickel!

J'ai chercher avec "jumelles" pour la fonction tau et je conclue que l'explication d'Egoroff explicite bien la fonction.

Juste un point qui coince (message d'Egoroff) :
"on construit un diviseur d'un nombre $n$ en choisissant un exposant pour chaque premier, inférieur à l'exposant qui apparaît dans $n$" mais quel est l'exposant qui apparaît dans $n$???

Merci pour vos éclairages divers et variés (un vrai arc en ciel).

A+

Emmanuel

"Pour moi un bon vivant c'est un vivant mort, et non l'inverse!!" in Oeuvres choisies de La Mort.

egoroff

Salut Yersinia,

Ce que je voulais dire c'est que $m$ divise $n$ si et seulement s'il s'écrit $p_1^{\beta_1} \cdots p_r^{\beta_r}$ avec $\beta_i \leq \alpha_i$.

Yersinia Pestis

OK! Perfecto!

C'est marrant cette histoire de coef qui donnent finalement le nombre de diviseurs d'un entier (la fonction $\tau$ quoi...). Y a vraiment des trucs curieux en maths!

Dis-moi Egoroff, y a-t-il un rapport entre toi et le l'auteur de manuels de maths pour TC/TE parus chez Belin en 1974?

Merci encore pour ton aide.

A+

Emmanuel

Ritchie

parus chez Belin en 1974?

Ca va lui faire plaisir

loooooooooool

Bonjour,
j'ai lu tous vos commentaires mais ya til une definition qui puisse dire quels sont les nombres qui ont un nombre pair de diviseurs sans enoncer les "carrés" ??
Voila l'exercice :
Quels sont les nombres qui ont un nombre pair de diviseurs?

Consigne:
a) Chercher ce probleme a) et b) sont a faire en meme temps
b)Raconter par ecrit les differentes etapes de votre recherche, les observations, les calculs qui vous ont fait progresser ou changer d'avis, meme si vous n'avez pas trouver la solution complete. Si vous avez trouvé une solution, meme partielle, expliquez la comme si vous aviez a convaincre un camarade.

jacquot

C'est un exercice du Triangle Troisième.

A mon avis, il est mal posé: il est plus pertinent se poser la questions des entiers qui ont un nombre impair de diviseurs, parce que c'est moins fréquent.

L'élève commencera à chercher avec des nombres petits, disons jusqu'à 20 et il verra que le test est alors positif pour
1 ; 4 ; 9 ; 16
S'il est perspicace, il reconnaîtra les carrés et essayera de le démontrer pour le cas général:
Qqch du genre les diviseurs peuvent s'apparier : si p divise n, alors il esxiste q tel que pq=n mais alors q est un autre diviseur de n Je dirai que p et q sont conjoints.
On verra alors que le nombre de diviseurs est impair ssi le conjoint d'un diviseur p est p lui-même donc p² =n donc n est un carré parfait.

Mais la question posée dans ce bouquin est celle des entiers qui ont un nombre pair de diviseurs. Que voulez-vous que l'élève réponde? Je pense que c'est une faute de frappe.

Une variante de cet exercice se trouve ici, présentée de façon plus ludique.

bryou

bonjours je voudrai bien comprendre cette enoncé:

quels sont les nombres ayant un nombre de diviseurs impair?

merci de me repondre ou de (cerement dire la reponse)

gerard0

Bonjour.

Combien de diviseurs a 5 : 5 a comme seuls diviseurs 1 et 5; donc il a 2 diviseurs. 2 est pair : Nombre pair de diviseurs.
Et 10 : Ses diviseurs sont 1,2,5 et 10 : Il a 4 diviseurs. nombre pair de diviseurs

Tu peux essayer avec les nombres de 1 à 30 pour voir lesquels on un nombre impair de diviseurs.

Bon travail !

Larecherche0

A mon humble avis, quand un nombre m est un produit de la forme m₁^1+2k₁xq, où q est un entier naturel non nul et x le signe de la multiplication.

Ainsi, quelque soit le nombre de diviseurs que comporte l'entier q, l'autre entier m possède un nombre pair de diviseurs. Puisque la quantité de diviseurs de m doit forcément être un multiple de (2k₁+2).

Il suffit donc que l'un des premiers divisant m ait un exposant impair. Mais Pestis, ta question est nuancée quand tu dis "les nombres premiers et leurs multiples sauf les carrés parfaits". A retenir simplement que seuls les carrés parfaits n'ont pas une quantité paire de diviseurs.

Excusez-moi pour la mauvaise formulation.

gerard0

La Recherche :

La question de Yersina Pestis date de 5 ans, et il vient rarement sur le forum maintenant.

Cordialement.

marinouxx

Et ben en gros ils sont tous pair.. --' je ne comprend et ça m'énerve:X

soland0

Bonjour.

Soyons simples. Les diviseurs d'un nombre n vont par paires dont le produit fait n. Par exemple, pour 45,

45 = 45*1 = 15*3 = 5*9

Exception : si le nombre est un carré a² , le diviseur a fait la paire avec lui-même, d'où une "paire" impaire... Par exemple 36 :

36 = 36*1 = 18*2 = 12*3 = 9*4 = 6*6 oups!

soland.

loli986545

J'ai exactement la même chose, cette année [*** modéré *** commentaire grossier sans intérêt. AD]

jacquot

Eh bien loli,
Commence par lire les messages de cette discussion plutôt que de tenir des propos désobligeants à l' egard de tes professeurs.
Ça devrait bien t'aider à faire ton travail.