Connecteurs ternaires

Bonjour à tous ! Voici mon problème :

On définit le connecteur ternaire $k$ par :
$$\begin{array}{cccc}
P& Q& R& k(P,Q,R) \\
\\
1& 1& 1& 0 \\
1& 1& 0& 1 \\
1& 0& 1& 0 \\
1& 0& 0& 1 \\
0& 1& 1& 1 \\
0& 1& 0& 0 \\
0& 0& 1& 1 \\
0& 0& 0& \quad 0
\end{array} $$
Trouver une formule telle que $\phi \in F$ tel que $\phi\ = k(P,Q,R)$

Existe-t-il deux connecteurs ternaire, $k_1$ et $k_2$ tel que pour toute formule $\phi \in F$ du calcul propositionnel, il existe une formule $\psi$ construite avec ces seuls connecteurs tel que $\phi = \psi$ ?

Combien existe-t-il de connecteurs ternaire ? Je n'arrive pas à trouver la formule... Merci d'avance si quelqu'un peut m'aider!

Réponses

  • Bonsoir,

    Ton connecteur est la disjonction exclusive de P et R : (P ou R) et non (P et R).

    Un dénombrement facile montre qu'il y a $2^8 = 256$ connecteurs ternaires possibles.
  • Ok pour le dénombrement j'ai compris :

    Si je prends a=nombre de valeurs de vérité, ici 0 ou 1

    J'ai a^a^n = nombre de connecteurs avec n=3 si ternaire par exemple

    Mais je ne comprends pas la disjonction exclusive ? Qu'est-ce que je fais avec R ??
  • J'ai rectifié la première réponse. C'est la disjonction exclusive de P et R. Si tu lis bien ton tableau, tu dois remarquer que Q n'intervient en fait pas, et qu'il s'agit d'un connecteur binaire, écrit artificiellement comme ternaire.

    Cette remarque devrait te donner une réponse à la dernière question.
  • je ne comprend pas, car si j'écris la formule P ou R alors j'ai par exemple 1 ou 1 = 0 pour la première ligne??? :S:S
  • J'ai pas parlé de disjonction P ou R, mais de disjonction exclusive :
    (P ou R) et non(P et R)

    Pour la première ligne : (1 ou 1) et non(1 et 1) = 1 et non 1 = 1 et 0 = 0

    J'écris la formule avec trois connecteurs, deux binaires et un unaire. Il serait peut-être mieux de la réécrire avec 2 connecteurs seulement.

    L'essentiel est qu'elle ne dépend pas de la valeur de Q.
  • ok! tout s'éclaire!

    mais comment avez-vous fait pour trouver la formule si rapidement ? J'ai essayé avec différentes formules un peu par "tâton" et ça ne jouait jamais.. existe-t-il une technique ou est-ce juste l'expérience ? ;)
  • oups je retire ma question... du moment qu'on enlève Q il est facile de voir la relation...

    par contre je ne vois pas pourquoi on peut retirer Q ? ou plutot comment on remarque qu'il n'intervient pas?
  • On peut retirer Q car on "voit" qu'à chaque fois que P et R sont fixés, on obtient le même résultat pour les 2 valeurs de Q. Pour le constater plus simplement il suffit de mettre Q en 3ème colonne et de réordonner les colonnes P et R en premier.
  • J'ai copié-collé le tableau de valeurs du connecteur dans un tableur, j'ai trié suivant les valeurs de P, puis de Q, puis de R, afin de mieux visualiser leur contribution au résultat final ; je me suis alors aperçu que Q ne servait à rien !!!
  • ok merci beaucoup, maintenant ça paraît logique !
  • Bonjour à tous ! Voici mon problème :

    Soit une fonction $F : \{0,1\}^3 \rightarrow \{0,1\}$ donnée par le tableau suivant :
    $$\begin{array}{cccc}
    P& Q& R& F(P,Q,R) \\
    \\
    1& 1& 1& 0 \\
    1& 1& 0& 1 \\
    1& 0& 1& 0 \\
    1& 0& 0& 1 \\
    0& 1& 1& 1 \\
    0& 1& 0& 0 \\
    0& 0& 1& 1 \\
    0& 0& 0& \quad 0
    \end{array} $$
    Donnez une formule $\phi$ qui définit cette fonction $F$ à la manière décrite ci-dessus

    Est-il possible, comme dans un précédent problème que j'ai posté sur ce forum la semaine passée, d'écrire une formule dans laquelle $Q$ n'intervient pas, par exemple la formule suivante :

    $\phi = \big((\neg(R \leftrightarrow R)\big) \mathrm{\ ou\ }\big(Q \leftrightarrow \neg\, Q)\big)$

    La formule joue avec le tableau et $Q$ n'intervient pas.
    Merci pour vos aides !!


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  • Bonjour.

    Effectivement, la deuxième variable n'intervient pas.

    Cordialement
  • On dirait P XOR R.
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • ok merci beaucoup ! (et merci aussi à l'admin qui doit chaque fois refaire la mise en page :))

    [A ton service :) AD]
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