Sommes pondérées de carrés et factorisation

dans Arithmétique
Bonjour,
On supposera ici que l'on sait qu'un entier donné est pair, si bien que l'on ne s'interesse qu'aux entiers impairs lesquels ont toujours la décomposition dite de Fermat Standrd :(DFS) :
i = 2k+1 = (k+1)^2 - k^2
il est clair que si i a une autre décomposition de la même forme, i = a^2 - b^2, il n'est pas premier et on trouve de manière immédiate deux facteurs propres.
Je pose maintenant la question plus générale :
Si i a deux décompositions (distinctes of course) de la forme i = a^2 + t.b^2, avec t = + ou - une puissance de 2 (ce qui revient en fait aux cas -2, -1, 2, 4, on préfèrera 4 à 1) alors il n'est pas premier.
Si de plus ces décompositions sont primitives (a et b premiers entre eux) et non triviales (a et b non nuls) alors le produit de ces décompositions via la double identité de Brahmagupta (ainsi nommée par Jean Dieudonné) à savoir :
i^2 = (a^2+t.b^2)(c^2+t.d^2) = (ac+tbd)^2 + t.(ab-dc)^2 = (ac-tbd)^2 + t.(ab+dc)^2
sont non triviales mais non primitives et les pgcd de :
ac+tbd et ab-cd d'une part
ac-tbd et ab+dc d'autre part
sont deux facteurs propres de i.
Euzenius
PS : Attention la recherche d'une deuxième décomposition n'est pas de la tarte si bien que cela ne saurait constituer une méthode acceptable pour déterminer si le nombre donné est premier ou non.
On supposera ici que l'on sait qu'un entier donné est pair, si bien que l'on ne s'interesse qu'aux entiers impairs lesquels ont toujours la décomposition dite de Fermat Standrd :(DFS) :
i = 2k+1 = (k+1)^2 - k^2
il est clair que si i a une autre décomposition de la même forme, i = a^2 - b^2, il n'est pas premier et on trouve de manière immédiate deux facteurs propres.
Je pose maintenant la question plus générale :
Si i a deux décompositions (distinctes of course) de la forme i = a^2 + t.b^2, avec t = + ou - une puissance de 2 (ce qui revient en fait aux cas -2, -1, 2, 4, on préfèrera 4 à 1) alors il n'est pas premier.
Si de plus ces décompositions sont primitives (a et b premiers entre eux) et non triviales (a et b non nuls) alors le produit de ces décompositions via la double identité de Brahmagupta (ainsi nommée par Jean Dieudonné) à savoir :
i^2 = (a^2+t.b^2)(c^2+t.d^2) = (ac+tbd)^2 + t.(ab-dc)^2 = (ac-tbd)^2 + t.(ab+dc)^2
sont non triviales mais non primitives et les pgcd de :
ac+tbd et ab-cd d'une part
ac-tbd et ab+dc d'autre part
sont deux facteurs propres de i.
Euzenius
PS : Attention la recherche d'une deuxième décomposition n'est pas de la tarte si bien que cela ne saurait constituer une méthode acceptable pour déterminer si le nombre donné est premier ou non.
Réponses
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Correction
pour t=-2, j'ai bien sôr oublié la condition minimale 2b^2<i sinon il y a une infinité de décompositions équivalentes (qui résultent de la multiplication de i=a^2-2b^2 par -1 = 1^2 -2.1^2 un certain nombre pair de fois via Brahmagupta)
Sorry
Euzenius -
Bonsoir,
La question posée résulte à mon avis une fois de plus de la structure des naturels impairs en produits de nombres premiers congrus à 1 ou 3 mod 8 avec la décomposition a^2+2b^2 primitive (a et b premiers entre eux) non triviale (a et b non nuls), à 1 ou 5 mod 8avec la décomposition eulérienne a^2+4b^2, et enfin à 1 ou 7 mod 8 avec la décomposition a^2-2b^2 sous la condition 2b^2 < a^2-2b^2.
Les nombres impairs sont de la forme a^2+2b^2 (trinitaire comme 3), a^2+4b^2 (quinconcial comme 5), a^2-2b^2 (sabbatique comme 7) ou sinon de la forme a^2+2b^2+4c^2 (avec toute décomposition vérifiant a, b, c >0).
La primalité implique l'unicité de la décomposition que j'appelle "alfrédienne" (Alfred frère d'Evariste) soit trinitaire, quinconciale ou sabbatique.
Si un nombre possède une décomposition alfrédienne primitive non triviale et n'est pas premier alors il a deux facteurs propres premiers entre eux possédant une décomposition primitive non triviale alfrédienne du même type, donc a une autre décomposition du même type qui résulte d'ailleurs de la double identité de Brahmagupta. On trouve alors que l'expression du produit de ces deux décompositions par Brahmagupta correspondent à la question posée avec les pgcd.
Le produit d'un non alfrédien avec tout autre impair premier avec lui est lui même non alfrédien. On pourra examiner aussi les autres formes de produits afin de mieux préciser tout cela dans une globalité bien cohérente.
C'est aussi le sens du pseudo "euzenius" qui dérive de l'expression de tout naturel 2^n.i (i impair) - "deux-n-i" donc -, mettant en valeur le rôle de 2 et de ses puissances.
Il y a bien sûr beaucoup à dire sur ce qui est exprimé ici et on peut me critiquer pour l'absence de véritables démonstrations ou de références ad hoc voire de l'à peu près. Je remercie néanmoins sincèrement tous ceux qui ont pu fournir quelques éléments ou qui pourront utilement compléter tout cela dans un esprit non perso car "euzenius" est plutôt un nom générique pour cette entreprise arithmétique...
Le créateur d'Euzenius
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