Skewness, Kurtis et loi normale

dans Statistiques
Bonjour,
en relisant mes corrections d'exos, je vois des points à éclaircir...
Voici l'exercice :
A partir de N=10446 observations de log rentabilités journalières de l'action IBM on a calculé les statistiques empiriques suivantes:
moyenne,écart type,etc avec les valeurs; skewness = -0,08 ; exces kurtosis = 10.21
On suppose que les log-rentabilité sont iid et suivent une loi gaussienne.
Dans l'exo, pour N (taille échantillon) assez grand, on a considèré que le skewness S suit asymptotiquement une loi normale N(0,6/N) et que le kurtis K suit une loi normale N(3, racine(24/N)).
Quelqu'un pourrait il m'expliquer pourquoi? Et comment peut on montrer qu'une v a suit asymptotiquement une loi normale?
Ensuite on devait proposer une procédure permettant de tester la normalité de la distribution des log rentabilités.
On propose le test de Bera et Jarque.
BJ = (N/6) S² + (N/24) (K-3)²
On va montrer que BJ ne suit pas la loi du Chi² (2) ; donc que S et K ne suivent pas des lois normales, donc que les log rentabilités ne sont pas distribués selon une loi normale.
Mais je ne sais pas comment montrer que BJ ne suit pas une loi du Chi²(2)!!!
(le prof a seulement écrit : on fixe alpha = 0,05 ; alors BJ>Chi²(2)....)
Merci d'avance pour votre aide...
en relisant mes corrections d'exos, je vois des points à éclaircir...
Voici l'exercice :
A partir de N=10446 observations de log rentabilités journalières de l'action IBM on a calculé les statistiques empiriques suivantes:
moyenne,écart type,etc avec les valeurs; skewness = -0,08 ; exces kurtosis = 10.21
On suppose que les log-rentabilité sont iid et suivent une loi gaussienne.
Dans l'exo, pour N (taille échantillon) assez grand, on a considèré que le skewness S suit asymptotiquement une loi normale N(0,6/N) et que le kurtis K suit une loi normale N(3, racine(24/N)).
Quelqu'un pourrait il m'expliquer pourquoi? Et comment peut on montrer qu'une v a suit asymptotiquement une loi normale?
Ensuite on devait proposer une procédure permettant de tester la normalité de la distribution des log rentabilités.
On propose le test de Bera et Jarque.
BJ = (N/6) S² + (N/24) (K-3)²
On va montrer que BJ ne suit pas la loi du Chi² (2) ; donc que S et K ne suivent pas des lois normales, donc que les log rentabilités ne sont pas distribués selon une loi normale.
Mais je ne sais pas comment montrer que BJ ne suit pas une loi du Chi²(2)!!!
(le prof a seulement écrit : on fixe alpha = 0,05 ; alors BJ>Chi²(2)....)
Merci d'avance pour votre aide...
Réponses
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Personne ne peut m'aider?....
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ben souvent pour montrer qu'un v.a. converge en loi vers une normale, il y a un résultat très célèbre et incontournable auquel il faut penser tout de suite....mais peut-être y as tu déjà pensé et que ça ne fonctionne pas
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Je ne sais pas du tout de quel résultat il s'agit.... Je n'ai jamais fait de stats auparavant (j'ai une licence de maths fondamentale, et je débarque cette année en master de maths financières....). Donc j'essaie comme je peux de suivre, en cherchant de l'aide à droite à gauche, d'où mon message sur ce forum.....
Un grand merci à celui qui pourra m'aider... -
ben Zeu théorème qui te donne la convergence en loi vers une loi normale s'appelle le théorème central limite......;)
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Bonjour
Dans un exercice j'ai à étudier la normalité de la distribution d'une série de log rentabilités d'un indice boursier (sur 10 ans).
Je suis perplexe devant les résultats :
- graphiquement, quand on regarde l'histogramme et qu'on lui superpose le dessin d'une loi normale, les deux semblent bien "s'emboîter". On pourrait donc penser que les log rentabilités suivent une loi gaussienne ;
- quand on calcule le skewness et la kurtosis de cette série, là encore, on trouve des valeurs (skewness = -0.1; kurtosis = 2.7) très proches de celles d'une loi normale ;
- mais si on réalise le test de Bera et Jarque, alors on est obligé de rejeter l'hypothèse de normalité.
Y a-t-il contradiction quelque part ? (donc erreur dans ce que j'ai fait...). Ou bien est-ce tout à fait possible d'avoir un skewness et un kurtosis proches de ceux d'une loi normale, sans pour autant que la série suive une loi normale ?
Merci d'avance pour votre aide... -
Merci beaucoup pour cette aide, je vais essayer de retrouver le résultat!
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Bonsoir,
Le test de Bera-Jarque repose sur les coefficients d'aplatissement et d'asymétrie, donc normalement lorsque ceux-ci sont "très proches" de ceux d'une gaussienne, le test de B-J doit confirmer le résultat.
En revanche, pour ma part, les valeurs empiriques que tu as trouvées me semblent personnellement suffisamment éloignées de celles d'une gaussienne (0 et 3), donc ça ne me surprend pas que BJ rejette l'hypothèse de normalité. -
Ah ok! Merci!
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Puisque tu as une licence de Maths (dites) Pures, tu ne devrais pas être trop effrayé par le style du bouquin. Je te conseille donc de jeter un coup d'oeil sur "The Advanced Theory of Statistics" de Kendall et Stuart, disponible dans toutes les bonnes bibliothèques.
C'est un peu indigeste, mais ils ne sautent pas beaucoup de difficultés ! Vers la page 90 du tome I (il y en a trois, mais le I suffit dans ton cas), les moments d'une distribution sont abordés sérieusement. En particulier, tu auras toute information nécessaire pour comprendre d'où sortent le 1/6 et le 1/24 asymptotiques des moments d'ordre 3 et 4.
Bon courage
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Bonjour!
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