un peu de logique.

Salut,

L'implication de $Q$ par $P$ est la proposition $(\neg P)\vee Q$, notée $P\Rightarrow Q$, et qui est fausse seulement si $P$ est vraie et $Q$ est fausse. Ainsi $$[P\Rightarrow Q]\Leftrightarrow(\neg P)\vee Q\Leftrightarrow \neg[\neg[(\neg P)\vee Q]]\Leftrightarrow \neg[P\wedge\neg Q]\Leftrightarrow\neg[\neg Q\wedge P]\Leftrightarrow\neg[\neg Q]\vee\neg P\Leftrightarrow[\neg Q\Rightarrow\neg P]$$ cette dernière s'appelle la contraposée de la première.

Qu'en pensez-vous ?
Merci

Réponses

  • & Écrivait:
    $$\neg[\neg Q\wedge P]\Leftrightarrow\neg\neg Q\vee\neg[\neg P]$$

    Une légère faute de frappe :

    $$\neg[\neg Q\wedge P]\Leftrightarrow\neg\neg Q\vee[\neg P]$$
  • Je ne sais pas si mon utilisation de non(A ou B) = nonA et nonB méritait être montrée avant?

    Merci
  • En fait, tu es en train de redécouvrir ce qu'on appelle le calcul propositionnel.
    Ce n'est pas sans intérêt; après on peut faire du calcul booléen, c'est amusant aussi.
  • Oui, enfin, si c'est juste pour montrer que $(P\Rightarrow Q) \Leftrightarrow (\neg Q \Rightarrow \neg P)$, une rustique table de vérité suffit largement..
  • Bonjour,
    Certainement, et même, je pense que c'est la seule voie pour montrer les relations:
    non(A ou B) = nonA et nonB
    non(A et B) = nonA ou nonB

    Pour la première:
    A   B    non(A ou B)   nonA et nonB
    F   F         V             V
    F   V         F             F
    V   F         F             F
    V   V         F             F
    
    V: vrai F: faux

    med
  • Re-bonjour,

    J'ai des doutes concernant les relations logique suivantes:
    1) $\forall x$,$(P(x)$ et $Q(x))\Leftrightarrow (\forall x,P(x))$ et $(\forall x,Q(x))$
    2) $\forall x$,$(P(x)$ ou $Q(x))\Leftrightarrow (\forall x,P(x))$ ou $(\forall x,Q(x))$
    3) $\exists x$,$(P(x)$ et $Q(x))\Rightarrow (\exists x,P(x))$ et $(\exists x,Q(x))$
    4) $\exists x$,$(P(x)$ ou $Q(x))\Leftarrow (\exists x,P(x))$ ou $(\exists x,Q(x))$
    5) $\forall x, \exists y , P(x,y)\Leftarrow\exists y , \forall x , P(x,y)$

    Pour la 5ème: je prends pour contre-exemple de l'implication réciproque, le fait que pour chaque jour de la semaine, elle existe une pharmacie de garde!

    Veuillez confirmer, Merci!
    med
  • La première est satisfaite.

    La deuxième ne l'est pas : considérer, pour $x$ réel, $P(x) \equiv x - |x| = 0$ et $Q(x) \equiv x + |x| = 0$.

    La troisième et la quatrième sont satisfaites.

    La cinquième est satisfaite, ton contrexemple prouve que $\forall x, \exists y , P(x,y)\Rightarrow\exists y , \forall x , P(x,y)$ ne l'est pas.
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