L'épouvantable histoire des affreux nombres hideux...

Bonjour,

Les nombres premiers p congrus à 1 modulo 8 (ou 1M8) ou à 7 modulo 8 (7M8) s'écrivent de manière unique :

p = a^2 - 2b^2

avec 2b^2<p.

Sans cette condition il y a en fait une infinité de telles décompositions avec a et b premiers entre eux. Pour le voir il suffit d'appliquer l'identité de Brahmagupta en multipliant p par -1 = 1^2 - 2.1^2. On trouve d'ailleurs aussi des décompositions de la forme :

p = 2c^2 - d^2.

Je me pose la question de savoir si tous les nombres premiers 1M8 et 7M8 ont des décompositions où b (cas p est 7M8) ou c (cas p est 1M8) sont des puissances de 2, c'est à dire sont de la forme :

p = i^2 - 8.2^k

ou

p = 8.2^k - i^2

avec i naturel impair, décompositions dites "i^2" ou "i-deux" et les nombres qui ont de telles décompositions "hideux".

La question posée est donc "Tout nombre premier 1M8 ou 7M8 est-il hideux".

Comme je suis assez fainéant j'ai abandonné pour le nombre premier 7M8 "167" et le nombre premier 1M8 "641".

On peut également se poser la question pour les nombres dits "sabbatiques" qui ont des dcompositions de la forme a^2 - 2b^2..

Si cela vous dit ?


Euzenius

Réponses

  • Petite rectification !

    b est une puissance de 2 pour les premiers 1M8 et non 7M8
    c est une puissance de 2 pour les premiers 7M8 et non 1M8

    mais vous aurez rectifié par vous même

    Alors 167 = 8.2^k - i^2 ?
    et 641 = i^2 - 8.2^k ?


    Euzenius
  • Bonjour

    Autre nombre premier 1M8 peut-être non hideux, 241 = 21^2 - 2.10^2 (unique décomposition avec la condition de minimalité)

    Donc pas besoin d'aller jusqu'à 641, ma mémoire a dû me jouer des tours. Je vais tranquillement regarder tout cela mais il n'est pas essentiel que tout nombre premier 1M8 ou 7M8 soit hideux. Plutôt que de rechercher une décomposition hideuse il est moins fastidieux de vérifier que la décomposition sabbatique minimale est unique, ce qui ne saurait constituer un test efficace de primalité n'exagéons pas !).

    Euzenius
  • Pour clore l'épouvantable histoire des zaffreux nombres hideux, nombres qui étendent les nombres de Mersenne d'une certaine manière en remplaçant 1 par i, il est bon de rappeler l'apport d'un autre moine à la science, puisqu'il a donné son nom à un cousin de l'arsenic, l'antimoine. Cela n'a pas dû être bien beau à voir, hideuse fin !

    Euzenius
  • Le nombre $i^{2}$ est-il hideux ?

    Toto.le.zero, artiste fantaisiste, joignable aux heures de bureau, tarif préférentiel: à débattre, noces, banquets, anniversaires.
  • Cher Toto le zero,

    J'ai naturellement interrogé, le Professeur Tournesol et le savant Cosinus (j'ai récupéré à Guernsey le guéridon de Victor Hugo avec lequel il faisait des scéances de spiritisme). Sur le strict plan de l'épistémologie de groupe et de l'élocution euristique, oui on peut dire que i^2 est hideux. Mais néanmoins la nécessité d'une puissance de 2 largement impaire nous obligerait à quelques bémols afin de modérer une situation qui risque de devenir aussi explosive que la crise des fondements des mathématiques (qui, on l'ignore trop souvent, a conduit à la seconde guerre mondiale).

    Cependant ces puissances de deux font cruellement défaut dans bien des cas et ma calculette convertisseuse de francs en euro refuse tout soutien en ce sens, si bien qu'il semble qu'il faille se résoudre au fait que les nombres hideux ne contiennent point tous les premiers sabbatiques, ce qui est assez horrible.

    Ultime question, intervenez-vous aussi pour les enterrements ?


    Euzenius
  • Euzenius,

    L'unicité de la décomposition sabbatique des premiers congrus à +-1 modulo 8 est verifiée (sauf erreur de programation) juqu'à 287093.

    De plus juqu'à cette même limite, les premiers congrus à +-3 modulo 8 n'ont pas de décomposition minimale.
  • Merci bien,

    Cependant l'unicité de la décomposition sabbatique minimale se démontre pour tout nombre premier congru à 1 ou 7 modulo 8.

    On démontre de même l"existence et l'unicité de la décomposition "trinitaire" a^2+2b^2 pour les nombres premiers congrus à 1 et à 3 modulo 8.

    Enfin (théorème de Fermat Euler rigoureusement établi par Gauss) les nombres premiers congrus à 1 ou à 5 ont une unique décomposition "quinconciale" a^2+4b^2.

    On démontre également (Ritchie m'a donné la référence, qu'il soit loué...) que tout naturel impair i s'écrit :

    i = a^2 + 2b^2+ 4c^2.



    Les formes sabbatiques, trinitaires et quinconciales sont en outre en lien avec une conjecture (pour le moment, faute de référence dans le sens d'une démonstration qui aurait pu avoir déjà été faite) qui dit que tout naturel impair i s'écrit :

    i =a^2 - 2b^2 + 4c^2

    avec la condition de minimalité 2b^2<i (sinon c'est immédiat il suffit de triturer trivialement la différence de deux carrés à laquelle est égal tout naturel impair. D'ailleurs en partant de la form obtenue non minimale on peut remplacer alternativement la partie x^2- 2y^2 ou y^2 - 2z^2 par des expressions égales et minimales. Quand on le fait sur des exemples on parvient à la solution minimale globale, mais pour ma part je n'arrive pas à le démontrer de manière générale).


    Par curiosité je me posais la question de savoir si les premers sabbatiques étaient hideux, mais déjà avec 167 (congru à 7 mod 8) et avec 241 (congru à 1 mod 8) les capacités calculatoires à ma disposition sont dépassés ce qui ne veut bien sûr pas dire qu'il n'y ait pas une puissance de 2 (très grande ?) qui marche. Je ne vais pas mobiliser la puissance de calcul des uns et des autres alors que seule une démonstration peut le confirmer ou l'infirmer (d'où l'intérêt de passer par le forum, il peut y avoir des gens intéressés par la question et qui connaissent quelque résultat sur le sujet...)

    Les décompositions hideuses ont l'avantage d'être sabbatiques primitives (a et b premiers entre eux) condition nécessaire pour que le nombre puisse être premier (sinon il a pour facteur propre pgcd(a,b)). C'est pour cela que les nombres hideux ont un intérêt (ce qui est celui également des nombres de Mersenne parmi lesquels on axe la recherche de très grands nombres premiers).

    Merci quand même pour tes efforts qui appuient mes dires (ne fournissant pas de site pour les démonstrations on peut me prendre pour un huluberlu ce dont je me fous royalement)


    Euzenius
  • Je ne fais que les noces, banquets, anniversaires. Exceptionnellement les communions et barmitzva.
  • Dommage,

    On peut se marrer aux enterrements, il n'y a pas que des pleureuses. Tu pourrais faire aussi les divorces comme aux States. Il est peut-être même possible d'intervenir à l'Elysée en le jouant fin, Ca pourrait faire du chiffre (je parle de chiffre parceque sinon les "modos" vont nous faire encore des remarques désobligeantes, genre "c'est pas des maths dégagez !"), il faut avoir ls pieds sur terre !

    Bonne nuit
    (cela devrait clore ce post, fil...)

    Euzenius
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