produit de Cauchy de séries

mathelot

Bonjour,

J'ai une série à termes positifs \quad $\displaystyle S=\sum_{k=0}^{+\infty} \, a_{k}$
Soit $n \geq 2$, y a-t-il une formule donnant $S^{n}$ par $(n-1)$ produits de Cauchy ?

Cordialement,

mathelot

je remonte le fil...

comme on élève une seule série à la puissance n, on peut imaginer
pour développement en série de $S^{n}$ une généralisation de la formule du multinôme ?????

cordialement,

GERARD

Bonjour.

Qu'appelles-tu "produit de Cauchy" ? Si c'est le produit classique (produit de convolution), il y aura effectivement une formule générale (que tu peux calculer facilement...).
Mais puisque tu sais ce que tu veux obtenir, pourquoi ne pas calculer toi-même ?

Cordialement

PB

C'est peut-être :

$$ \left(\sum_{k=0}^{+\infty} a_k \right)^n=\sum_{k=0}^{+\infty}\left(\sum_{i_1+\cdots+i_n=k} a_{i_1}\cdots a_{i_n}\right)$$

mathelot

oui, tout à fait. merçi.