théorème d'entrelacement de Cauchy

borde

Bonjour,

au cours de diverses recherches, je suis tombé sur cette très courte preuve du théorème d'entrelacement de Cauchy concernant les valeurs propres d'une matrice hermitienne.

\lien {http://arxiv.org/PS_cache/math/pdf/0502/0502408v1.pdf}

Ce théorème possède une foultitude de preuves (théorème de Courant-Fischer, théorème des valeurs intermédiaires, etc.), mais ceux qui aiment les démonstrations expéditives seront servis.

De plus, cela semble indiquer que les combinaisons linéaires de polynômes ayant toutes leurs racines réelles constituent effectivement {\it le bon cadre} pour ces problèmes d'entrelacement.

Bonne lecture,

Borde.

Aleg

Merci Borde,
Effectivement, c'est expéditif (et convaincant !).
Voilà un auteur qui fait dans la concision !

borde

En cherchant bien sur le net, tu pourras découvrir un document écrit par lui sur les problèmes d'entrelacements de (racines de) polynômes. C'est un document imposant, mais ses notations ne sont pas immédiatement évidentes.

Borde.

Yersinia Pestis

Décidément les maths me surprendront toujours, voilà qu'on y parle d'entrelacement. A quand un bouquin sur maths et érotisme!!!

Emmanuel

bs

Bonjour,

Oui, plutôt impressionnant; le théorème de Courant-Fischer est l'objet du problème C.6.2 p216 du tome d'Algèbre ll de Monier.

Emmanuel, pourquoi-pas effectivement un jour un fil "mathématiques et érotisme" ?

Bonne journée.

borde

Je savais bien que ce fil allait donner quelques idées...:)-D

La seule chose qui m'étonne vraiment, c'est que RAJ ne se soit pas encore exprimé !

Borde.

Yersinia Pestis

Bonjour Bernard,

j'y songe (sérieusement!!) sans doute sur un mode très humoristique (mon passé de carabin me donne de bonnes bases!!!).

Pour Olivier : RAJ me semble malheureusement de moins en moins présent sur le forum, c'est dommage...

A+

Emmanuel

olib

Juste une question de base pour vous:
C'est quoi le théorème d'entrelacement de Cauchy? Je n'ai pas trouvé en googelisant... Je connais pas mal de théorèmes de Cauchy mais pas celui-ci.:)
Je peux avoir juste l'énoncé?
Merci d'avance.

borde

L'énoncé est dans le pdf donné tout au début...

Grosso modo, si $A$ est hermitienne d'ordre $n$, alors ses valeurs propres s'entrelacent avec celles d'une sous-matrice principale d'ordre $n-1$. On attribue généralement ce résultat à Cauchy.

Borde.

olib

ok, merci borde; je vais lire le pdf!
Très bien fait votre livre d'arithmétique si je peux me permettre un compliment(je ne suis pas spécialisé en théorie des nombres).

borde

Bonsoir Olib,

Un compliment, c'est toujours bon à prendre, et je te remercie chaleureusement pour l'intérêt que tu portes à ce travail...

Borde.

bs

Bonsoir,

Il y a aussi l'entrelacement des zéros des polynômes de Legendre $L_n$ et $L_{n-1}$...

C'est d'ailleurs certainement vrai pour tous les polynômes orthogonaux $P_n$ et $P_{n-1}$ ?

borde

Tu as entrelacement de $P$ et $Q$ (à racines réelles) si et seulement si, pour tout réel $a$, le polynôme $P+aQ$ a toutes ses racines réelles.

Ce critère t'ouvre donc des horizons, et c'est celui-ci que l'auteur utilise dans sa démonstration ci-dessus.

Borde.

Yersinia Pestis

mais il insiste le bougre! Comme par hasard un des polynôme est nommé Q....

borde

On a tous nos zones sombres...:)o

Borde.