sommes de trois carrés impairs

dans Arithmétique
Bonjour,
Je reprends ici ce que j'ai mis dans le post "carrés parfaits", à savoir que tout naturel de la forme 8k+3 s'écrit lorsque k>0 des deux façons suivantes :
8k+3 = 1^2 + 1^2 + 1^2 + (2k+1)^2 - (2k-1)^2
et
8k+3 = (2k+1)^2 + (2k+1)^2 + (2k+1)^2 + (2k+1)^2 - (4k+1)^2
c'est à dire des cas particuliers de la décomposition plus générale :
8k+3 = a^2 + b^2 + c^2 + (2k+1)^2 - x^2
avec a, b, c, x naturels impairs.
On voit que x=2k-1 < 2k+1 pour la première et que x = 4k+1 > 2k+1 pour la seconde.
Peut-on montrer de manière élégante et élémentaire (c'est peut-être impossible ?) qu'il existe une solution où x = 2k+1 (donc que des solutions existent pour tous les naturels impairs x compris entre 2k-1 et 4k+1) ? Ou alors faut-il se contenter de la démonstration usuelle que tout naturel de la forme 8k+3 est somme de trois carrés impairs ?
Merci par avance de vos lumières...
Euzenius
Je reprends ici ce que j'ai mis dans le post "carrés parfaits", à savoir que tout naturel de la forme 8k+3 s'écrit lorsque k>0 des deux façons suivantes :
8k+3 = 1^2 + 1^2 + 1^2 + (2k+1)^2 - (2k-1)^2
et
8k+3 = (2k+1)^2 + (2k+1)^2 + (2k+1)^2 + (2k+1)^2 - (4k+1)^2
c'est à dire des cas particuliers de la décomposition plus générale :
8k+3 = a^2 + b^2 + c^2 + (2k+1)^2 - x^2
avec a, b, c, x naturels impairs.
On voit que x=2k-1 < 2k+1 pour la première et que x = 4k+1 > 2k+1 pour la seconde.
Peut-on montrer de manière élégante et élémentaire (c'est peut-être impossible ?) qu'il existe une solution où x = 2k+1 (donc que des solutions existent pour tous les naturels impairs x compris entre 2k-1 et 4k+1) ? Ou alors faut-il se contenter de la démonstration usuelle que tout naturel de la forme 8k+3 est somme de trois carrés impairs ?
Merci par avance de vos lumières...
Euzenius
Réponses
-
Bien, ce post se fonde sur le fait simple à démontrer que tout naturel de la forme 8k, k>0, est la différence de deux carrés de naturels impairs (et vice versa). Cela peut être précisé de la manière suivante :
1) si k est une puissance de 2 alors il ya une seule décomposition possible qui est celle usuelle valable pour tout k>0:
8k = (2k+1)^2 - (2k-1)^2
(la réciproque est vraie également)
2) si k = 2^n.p où p est un nombre premier impair alors il existe une seule autre décomposition que celle usuelle :
8k = (2.2^n + p)^2 - (2.2^n - p)^2
en remplaçant éventuellement 2.2^n-p par p-2.2^n pour rester dans les naturels
(la récipoque est vraie encore)
3) si k=2^n.pq avec p et q naturels impairs > 1, on a la décomposition :
8k = (2.2^n.p+q)^2 - (2.2^n.p-q)^2
en remplaçant éventuellement par ce qu'il faut pour rester dans les naturels
et la même en échangeant p et q.
Dans le problème posé à savoir montrer que 8k+3 est somme de trois carrés impairs en partant des décompositions de la forme :
8k+3 = a^2 + b^2 + c^2 + (2k+1)^2 - x^2
on pourra supposer que a, b, c, sont < ou = à (2k+1).
on peut donc ajouter à 8k+3 des naturels congrus à 0 mod 8
8i = A^2-a^2 avec a<A<= 2k+1 ou 0
8j = B^2-b^2 avec b<B<=(2k+1) ou 0
8l = C^2-c^2 avec c<C<=(2k+1) ou 0
et dans le même temps retrancher le naturel 8(i+j+l) qui possède une ou plusieurs décompositions en différence de deux carrés impairs si bien q'avec un peu de chance on va éliminer à la fois (2k+1)^2 et x^2 c'est à dire que :
8(i+j+l) = (2k+1)^2 - x^2.
Donc tout revient à trouver le bon triplet (i,j,l). Le problème posé a-til une solution élémentaire et élégante en partant de l'expression :
8k+3 = 1+1+1+(2k+1)^2 - (2k-1)^2
ou sommes nous dans le domaine du tripatouillage au feeling... ?
Euzenius
8 -
Exemple de tripatouillage :
19 = 8x2+3 = 1+1+1+5^2-3^2
comme 5^2-3^2 = 16, on cherche i, j , l tels que i+j+l=2 et comme il ne peut y en avoir deux nuls on peut prendre i=0, j=l=1 (notez que 0 = 1^2 - 1^2)
on a :
8i = 1^2-1^2
8j = 3^2-1^2
8l = 3^2-1^2
ce qui correspond aux contraintes demandées
On trouve alors 19 = 1^2 + 3^2 + 3^2
Euzenius -
Autre exemple heuristique en partant toujours de la décomposition minimale
27 = 8x3+3 = 1^2 + 1^2 + 1^2 + 7^2 - 5^2
3 se décompose de deux manières :
0+0+3 et 1+1+1
qui conduisent toutes deux à une expression de 27 en somme de trois carrés :
27 = 1^2 + 1^2 + 5^2 = 3^2 + 3^2 + 3^2
La contrainte demandée est donc de pouvoir décomposer un naturel m en une somme de 3 autres
m=i+j+k
tel que 8i+1, 8j+1 et 8k+1 soient des carrés (forcément impairs) ce qui évidemment ne nous avance guère puisque presque trivialement équivalent à montrer que 8m+3 est somme de trois carrés impairs donc nous renvoie à la démonstration usuelle (voir mémoire de Ritchie ). On tourne en rond si l'on occulte la décomposition maximale à mon humble avis, mais comment l'introduire dans un processus démonstratif élémentaire ?
Euzenius
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