sommes de trois carrés impairs

Bonjour,

Je reprends ici ce que j'ai mis dans le post "carrés parfaits", à savoir que tout naturel de la forme 8k+3 s'écrit lorsque k>0 des deux façons suivantes :

8k+3 = 1^2 + 1^2 + 1^2 + (2k+1)^2 - (2k-1)^2

et

8k+3 = (2k+1)^2 + (2k+1)^2 + (2k+1)^2 + (2k+1)^2 - (4k+1)^2


c'est à dire des cas particuliers de la décomposition plus générale :

8k+3 = a^2 + b^2 + c^2 + (2k+1)^2 - x^2

avec a, b, c, x naturels impairs.


On voit que x=2k-1 < 2k+1 pour la première et que x = 4k+1 > 2k+1 pour la seconde.

Peut-on montrer de manière élégante et élémentaire (c'est peut-être impossible ?) qu'il existe une solution où x = 2k+1 (donc que des solutions existent pour tous les naturels impairs x compris entre 2k-1 et 4k+1) ? Ou alors faut-il se contenter de la démonstration usuelle que tout naturel de la forme 8k+3 est somme de trois carrés impairs ?

Merci par avance de vos lumières...


Euzenius

Réponses

  • Bien, ce post se fonde sur le fait simple à démontrer que tout naturel de la forme 8k, k>0, est la différence de deux carrés de naturels impairs (et vice versa). Cela peut être précisé de la manière suivante :

    1) si k est une puissance de 2 alors il ya une seule décomposition possible qui est celle usuelle valable pour tout k>0:

    8k = (2k+1)^2 - (2k-1)^2

    (la réciproque est vraie également)

    2) si k = 2^n.p où p est un nombre premier impair alors il existe une seule autre décomposition que celle usuelle :

    8k = (2.2^n + p)^2 - (2.2^n - p)^2

    en remplaçant éventuellement 2.2^n-p par p-2.2^n pour rester dans les naturels

    (la récipoque est vraie encore)

    3) si k=2^n.pq avec p et q naturels impairs > 1, on a la décomposition :

    8k = (2.2^n.p+q)^2 - (2.2^n.p-q)^2

    en remplaçant éventuellement par ce qu'il faut pour rester dans les naturels

    et la même en échangeant p et q.


    Dans le problème posé à savoir montrer que 8k+3 est somme de trois carrés impairs en partant des décompositions de la forme :

    8k+3 = a^2 + b^2 + c^2 + (2k+1)^2 - x^2

    on pourra supposer que a, b, c, sont < ou = à (2k+1).

    on peut donc ajouter à 8k+3 des naturels congrus à 0 mod 8

    8i = A^2-a^2 avec a<A<= 2k+1 ou 0
    8j = B^2-b^2 avec b<B<=(2k+1) ou 0
    8l = C^2-c^2 avec c<C<=(2k+1) ou 0

    et dans le même temps retrancher le naturel 8(i+j+l) qui possède une ou plusieurs décompositions en différence de deux carrés impairs si bien q'avec un peu de chance on va éliminer à la fois (2k+1)^2 et x^2 c'est à dire que :

    8(i+j+l) = (2k+1)^2 - x^2.

    Donc tout revient à trouver le bon triplet (i,j,l). Le problème posé a-til une solution élémentaire et élégante en partant de l'expression :

    8k+3 = 1+1+1+(2k+1)^2 - (2k-1)^2

    ou sommes nous dans le domaine du tripatouillage au feeling... ?


    Euzenius

    8
  • Exemple de tripatouillage :

    19 = 8x2+3 = 1+1+1+5^2-3^2

    comme 5^2-3^2 = 16, on cherche i, j , l tels que i+j+l=2 et comme il ne peut y en avoir deux nuls on peut prendre i=0, j=l=1 (notez que 0 = 1^2 - 1^2)

    on a :

    8i = 1^2-1^2
    8j = 3^2-1^2
    8l = 3^2-1^2

    ce qui correspond aux contraintes demandées

    On trouve alors 19 = 1^2 + 3^2 + 3^2


    Euzenius
  • Autre exemple heuristique en partant toujours de la décomposition minimale

    27 = 8x3+3 = 1^2 + 1^2 + 1^2 + 7^2 - 5^2

    3 se décompose de deux manières :

    0+0+3 et 1+1+1

    qui conduisent toutes deux à une expression de 27 en somme de trois carrés :

    27 = 1^2 + 1^2 + 5^2 = 3^2 + 3^2 + 3^2


    La contrainte demandée est donc de pouvoir décomposer un naturel m en une somme de 3 autres

    m=i+j+k

    tel que 8i+1, 8j+1 et 8k+1 soient des carrés (forcément impairs) ce qui évidemment ne nous avance guère puisque presque trivialement équivalent à montrer que 8m+3 est somme de trois carrés impairs donc nous renvoie à la démonstration usuelle (voir mémoire de Ritchie ). On tourne en rond si l'on occulte la décomposition maximale à mon humble avis, mais comment l'introduire dans un processus démonstratif élémentaire ?

    Euzenius
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