problème probabilité

ukunkun

Bonjour,

Je suis à la recherche de la démonstration du calcul de la fonction de densité de Y, E(Y) et Var(Y), si Y est une variable aléatoire avec paramètre Mu et Sigma et log Y est distribuée N((Mu,Sigma). Ainsi, la variable Y est lognormale si elle s'exprime comme Y=ex

J'ai besoin de démonstrations:
E(Y)= exp(Mu+sigma^2/2) étant l'espérance de cette loi.
Var(Y)=(exp(2Mu+sigma^2))*(exp(sigma^2)-1)

egoroff

Salut,

As-tu déjà essayé quelquechose ? Tu peux facilement exprimer la fonction de répartition $F_Y$ de ta variable en écrivant $F_Y(y)=\mathbb{P}(Y \leq y)=\mathbb{P}(e^X \leq y)$ et te ramener à la fonction de répartition $F_X$ d'une loi $\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$. Tu obtiens ensuite la densité par dérivation : $f_Y=F_Y'$.

ukunkun

Salut,

Merci pour ton aide.
J'ai besoin de démonstration:
E(Y)= exp(Mu+sigma^2/2) étant l'espérance de la loi N((Mu,Sigma).
Var(Y)=(exp(2Mu+sigma^2))*(exp(sigma^2)-1) étant la variance de la loi N((Mu,Sigma).


Merci à l'avance

egoroff

Mouais "merci pour ton aide" mais en attendant je n'ai pas l'impression que tu aies essayé par toi-même...

ukunkun

Salut,
J'ai trouvé la densité Y grâce à ton aide, ensuite E(Y) mais je ne suis pas certain de ce que je dois faire pour Var(Y). Est-ce que je dois utiliser la fonction génératrice des moments?

FlawlessBoy

si tu as trouvé la densité de $Y$ et l'espérance, on trouve la variance exactement avec la même méthode...puisqu'il te faut trouver le moment d'ordre 2...tu as donc le calcul direct $\int x^2f(x)dx$ ou effectivement des formules utilisant la dérivée de la fonction caractéristique...

yansane

Je cherche toutes les formules de calcul des espérances et variances des différentes lois

FlawlessBoy

lOl
tu as $\mathbb{E}[X] = \int xf(x)dx$ et $\mathbb{E}[X^2] = \int x^2f(x)dx$, puis $Var(X) = \mathbb{E}[X^2] - \mathbb{E}[X]^2$...ensuite, tu prends un papier, un crayon et tu fais les calculs pour chaque loi...et si tu cales, on t'aidera...et surtout tu dis bonjour, svp, merci et au revoir...