Problème de Riemann-fonctions concaves-convexes

Rouliane

Bonsoir,

On considère le problème de Cauchy :

$\partial_t u + \partial_x(f(u))=0$
$u(x,0)=u_0(x)$

On a montré en cours la solution du problème de Riemann, pour une loi de conservation, dans le cadre où f est strictement convexe.

Je dois maintenant adapter le cas à f strictement concave. Je sais pour avoir lu des cours, que ça va etre en fait "l'inverse" du cas où f est strictement convexe : si Ug<Ud on aura un choc, et si Ug>Ud on aura une détente.

J'imagine qu'il faut faire un changement de variable x=-x, mais je vois pas en quoi ça fait apparaitre -f dans la loi de conservation ?
De plus je vois pas ce que je vais faire de mon u(-x,t) dans mon système.

Merci de votre aide

Rouliane

J'ai essayé d'avancer un peu, alors si je fais le changement x=-x j'arrive à :
$\partial_t u(-x,t) - \partial_x f[u(-x,t)]=0$
$u(-x,0)=u_0(-x)=$ $\left\{ \begin{array}{rrrrr}
U_d, \quad \mathrm{si\ } x<0 \\
U_g, \quad \mathrm{si\ } x>0
\end{array}
\right.$ ( les états sont inversés )
On aura alors :

1er cas : si $U_g>U_d$
$u(x,t)=\begin{cases}
U_d & \mathrm{si\ } -x<-f'(U_d)t \\
v(-\frac{x}{t}) & \mathrm{si\ } -f'(U_d)t \le -x \le -f'(U_g)t \\
U_g & \mathrm{si\ } -x>-f'(U_g)t
\end{cases} $
autrement dit :
$u(x,t)=\begin{cases}
U_g & \mathrm{si\ } x< f'(U_g)t \\
v(-\frac{x}{t}) & \mathrm{si\ } f'(U_g)t\le x \le f'(U_d)t \\
U_d &\mathrm{si\ } x>f'(U_d)t
\end{cases} $

2ème cas : si $U_d>U_g$
$u(x,t)=\left\{ \begin{array}{rrrrr}
U_d\;\;\;\;\mathrm{si\ } -x<-\sigma t \\
U_g\;\;\;\;\mathrm{si\ } -x>-\sigma t
\end{array}
\right.$
autrement dit :
$u(x,t)=\left\{ \begin{array}{rrrrr}
U_g\;\;\;\;\mathrm{si\ } x<\sigma t \\
U_d\;\;\;\;\mathrm{si\ } x>\sigma t
\end{array}
\right.$
Est-ce que c'est ça en gros ?

J'ai un doute notamment sur l'écriture $v(-\frac{x}{t})$ mais j'ai l'impression que je suis pas très loin.

Rouliane

un p'tit up

Rouliane

vraiment personne ?

Rouliane

:-(

Rouliane

allez on y croit !

Remarque0

Ca n'a pas l'air d'être un simple changement de variable... en tout cas, je ne vois pas (ce qui ne veut pas dire grand chose). Tu peux toujours refaire la théorie dans ce cas, ça ne peut pas faire de mal.

Rouliane

Merci remarque.
J'ai vu dans un cours qu'il fallait bien faire le changement de variables, je cite " Nous n'avons qu'à traiter le cas f convexe. En effet, en changeant x en -x dans la loi de conservation, nous faisons apparaitre -f qui est concave, etc..."
Mais je ne vois pas du tout comment m'en sortir. J'ai des u(-x,t) un peu partout et je sais pas trop comment les manipuler.
Et j'ai demandé à ma prof qui m'a confirmé que y'avait qu'un changement de variables à faire ( je pensais aussi qu'il fallait refaire la théorie )

La seule chose que je remarque en faisant ce changement de variables, c'est qu'on change les états Ug et Ud et que le -f apparait.

Merci en tout cas de ton interet pour ce topic.

Remarque0

Ah oui, effectivement c'est juste ! Le changement de variable $x\to -x$ fait l'affaire. Sorry :-( Pose simplement $v(x,t)=u(-x,t)$.

Rouliane

d'accord, merci !

Donc ce que j'ai mis dans mon message de 23:36 jeudi est à peu près correct ? ( sauf qu'il faut lire u(-x,t) pour la solution, et non pas u(x,t). )

J'ai juste un doute sur la raison pour laquelle le - apparait devant le f dans la loi de conservation : je fais ça "instinctivement" parce qu'on dérive par rapport à x et qu'on fait le changement x en -x. C'est juste ça ?

Sinon, pour résumer, ça donne ça :

$\partial_t u(-x,t) - \partial_x f[u(-x,t)]=0$
$u(-x,0)=u_0(-x)=$ $\left\{ \begin{array}{rrrrr}
U_d, \quad \mathrm{si\ } x<0 \\
U_g, \quad \mathrm{si\ } x>0
\end{array}
\right.$ ( les états sont inversés )

C'est à dire :

$\partial_t v(x,t) - \partial_x f[v(x,t)]=0$
$v(x,0)=v_0(x)=$ $\left\{ \begin{array}{rrrrr}
U_d, \quad \mathrm{si\ } x<0 \\
U_g, \quad \mathrm{si\ } x>0
\end{array}$

On aura alors :

1er cas : si $U_g>U_d$
$u(-x,t)=\begin{cases}
U_d & \mathrm{si\ } -x<-f'(U_d)t \\
v_1(-\frac{x}{t}) & \mathrm{si\ } -f'(U_d)t \le -x \le -f'(U_g)t \\
U_g & \mathrm{si\ } -x>-f'(U_g)t
\end{cases} $

autrement dit ( en posant $w(\frac{x}{t})=v_1(-\frac{x}{t})$ ):
$v(x,t)=\begin{cases}
U_g & \mathrm{si\ } x< f'(U_g)t \\
w(\frac{x}{t}) & \mathrm{si\ } f'(U_g)t\le x \le f'(U_d)t \\
U_d &\mathrm{si\ } x>f'(U_d)t
\end{cases} $

2ème cas : si $U_d>U_g$
$u(-x,t)=\left\{ \begin{array}{rrrrr}
U_d\;\;\;\;\mathrm{si\ } -x<-\sigma t \\
U_g\;\;\;\;\mathrm{si\ } -x>-\sigma t
\end{array}
\right.$
autrement dit :
$v(x,t)=\left\{ \begin{array}{rrrrr}
U_g\;\;\;\;\mathrm{si\ } x<\sigma t \\
U_d\;\;\;\;\mathrm{si\ } x>\sigma t
\end{array}
\right.$

C'est ça en gros ?

Remarque0

Je n'ai pas vérifié les détails, mais ça a l'air d'aller. Il suffit de tout réécrire en termes de $v$. Pour le changement de signe, il ne faut pas le faire à l'instinct. C'est une dérivée au sens des distributions. Quand tu as une distribution $T$ sur $\R$, tu définis $\check T$ par $\langle \check T,\varphi\rangle=\langle T, \check\varphi\rangle$ où $\check\varphi(x)=\varphi(-x)$. C'est clair avec cette définition que pour $f\in L^1_{\mathrm{loc}}$, $\check f(x)=f(-x)$ et si on dérive,
$$\langle (\check T)',\varphi\rangle=-\langle \check T,\varphi'\rangle=-\langle T, \check{(\varphi')}\rangle=\langle T, (\check\varphi)'\rangle=-\langle T', \check\varphi\rangle=\langle -\check{(T')}, \varphi\rangle
$$
d'où $ (\check T)'=-\check{(T')}$. Ici on applique \c ca à $T=f(u)$.

Rouliane

Merci beaucoup. J'ai bien compris, par contre , l'écriture : $ \langle \check T,\varphi\rangle=\langle T, \check\varphi\rangle$ utilise une propriété des distributions ou pas ?

EDIT : en fait je crois avoir trouvé comment le montrer pour une fonction $f\in L^1_{\mathrm{loc}}$, on a $\displaystyle \langle \check T,\varphi\rangle = \int_{-A}^A \check f(x) \varphi(x)dx = \int_{-A}^A f(-x) \varphi(x)dx=\int_{-A}^A f(x) \varphi(-x)dx$ grace au changement de variable x=-x. Et donc : $\langle \check T,\varphi\rangle=\langle T, \check\varphi\rangle$

C'est ça ?

Remarque0

La première écriture est une définition de ce que doit être $T(-x)$ (attention, notation incorrecte puisque $T$ n'est pas une fonction), c'est un cas particulier de changement de variable dans une distributions. Après il faut vérifier que ça colle avec ce que l'on fait quand la distribution est une fonction. C'est ce que tu as écrit après, mais il faut le faire dans un ordre différent : utiliser d'abord la définition distribution, puis calculer :
$$
\langle \check T,\varphi\rangle =\langle T, \check\varphi\rangle= \int_{\R} f(x) \varphi(-x)dx = \int_{\R} f(-x) \varphi(x)dx.
$$
Donc la distribution $\check T$ définie par dualité s'identifie bien à la fonction $\check f$ définie au sens habituel.

Rouliane

D'accord, j'ai compris le principe, merci

Rouliane

Juste une petite remarque : ici, on a f(u(x,t)), donc c'est un peu plus compliqué pour définir $\langle \check T\rangle$ , non ?