Un petit exercice

Salut,

on se donne $n$ systèmes dont les durées de vie $X_1,...,X_n$ suivent indépendamment une même loi de densité $f$. On observe uniquement les durées de vie $Y_1,Y_2, ...,Y_r$ des $r$ premiers systèmes tombant en panne.

Donner la loi du $n$-uplet $(Y_1,...,Y_n)$. Il y a d'autres questions, mais j'aimerais déjà faire celle-là.

Est-ce à dire qu'en fait $Y_r$ est la loi du $r$-ème nombre $X_i$, si on les range par ordre croissant ? Je ne trouve quoiqu'il en soit pas la loi du $n$-uplet, j'aimerais bien juste une indication, merci !

Réponses

  • Bonjour.

    En fait Y1 est la loi du minimum des Xi, Y2 celle de la deuxième valeur réalisée par les Xi, ..., Yn la loi du maximum des Xi.
    Pour Y1 et Yn, je vois comment faire, pour les autres ...

    Cordialement
  • Moi pareil... En fait même pour $Y_r$ on peut le faire, le problème est qu'on demande en première question la loi du $n$-uplet, comme si c'était facile (ça doit l'être, mais je vois pas...).

    Pour $Y_r$ l'idée est d'en prendre $(r-1)$ avant, $(n-r+1)$ après, de voir dans des ensembles de quelle taille on les choisit, et pas oublier les densités en gros.
  • Bonsoir,

    de manière formelle pour faire voir l'idée qui me semble exacte :

    [Y1=y1;...;Yr=yr;...Yn=yn] = U/s (X1=s(y1);...;Xr=s(yr);...;Xn=s(yn))
    Union sur les permuations s de [1,...,n], par abus de langage.

    En prenant la probabilité (la densité en fait), on obtient une somme de produits compte tenu de l'indépendance. Les termes de la somme sont identiques.

    Donc g(y1,...,yn) = n! (Pi) f(yi)

    Je raisonne en disant que les yi sont tous distincts parce que la probabilité que deux machines s'arrêtent au même moment est nulle, la loi commune de X étant continue.

    C'est une piste que j'espère ne pas être trop "hors piste".

    S
  • Génial, cette idée de raisonnner "à l'envers", en se donnant les $Y_i$ pour remonter aux valeurs possibles des $X_i$ (en gros), en tout cas j'ai compris, merci :)
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.