Jacoben et système

Rouliane

Bonjour,

Pourriez-vous me dire si ce que j'ai fait pour l'instant est correct :

Remarque0

Oui.

Rouliane

Merci remarque.

En remplaçant par les valeurs de u1 et u2 j'ai donc $ J=\begin{pmatrix}
0&1 \\
gh-u^2&2u
\end{pmatrix}$

Je dois maintenant trouver une condition sur h pour que le système soit hyperbolique.
On a pas trop vu ça en détail en cours, mais je pense qu'il faut trouver une condition sur h pour que J soit diagonalisable et à valeurs propres réelles.

Si je calcule le polynome caractéristique, je trouve $P(x)=x^2-2ux+(u^2-gh)$.
Son déterminant est $\Delta=4gh$, et comme g>0 et qu'on veut des valeurs propres réelles, la première condition est que h>0.

J'ai alors 2 valeurs propres réelles distinctes et J est bien diagonalisable.

Est ce que c'est correct ?

Remarque0

Euh oui et non. En les variables $u$ et $h$, ce n'est pas un système de lois de conservation. C'est pour ça qu'on introduit les variables $u_1$ et $u_2$. Il est préférable de garder ces variables pour voir si c'est diagonalisable avec des vp réelles distinctes. Bon, tu me diras, c'est la même matrice $J$, d'accord, mais je trouve qu'il vaut mieux coller à la forme $\frac{\partial U}{\partial t}+\frac{\partial F(U)}{\partial x}$ standard pour un système hyperbolique.

Rouliane

D'accord je prends note.

Mais pour trouver une condition sur h, il faut me servir du fait que J doit etre diagonalisable et à valeurs propres réelles ( forcément distinctes ? ), c'est bien ça ?

Remarque0

Oui, et c'est bien $h=u_1>0$.

Rouliane

Ok, merci.

Y a juste un petit truc qui me gène pour la suite. Je dois démontrer que les solutions régulières de ce système sont aussi solutions du système :
$$\begin{cases}
\partial_t a + \partial_x(au)&=0 \\
\partial_t (u)+\partial_x(a+\frac{1}{2}u^2)&=0}
\end{cases}$$
En fait, je n'ai pas de problèmes à montrer cela, mais c'est pas rigoureux du tout.
J'ai donc plusieurs questions :
\begin{enumerate}
\item Ici, les solutions de mon système initial, que je considère régulières, ce sont $h$ et $u$ ou $u_1$ et $u_2$ ?
\item Quand je considère des solutions régulières, ce sont des solutions de classe $\mathcal C^1$ généralement ?

\item Globalement, le fait de considérer des solutions régulières nous permet de dériver "classiquement", c'est bien ça ?
\end{enumerate}
Merci.

Remarque0

1) C'est la même chose dès que $h>0$.

2) Aussi régulières que tu veux. Ici $C^1$ suffit.

3) Oui, notamment les produits.

Rouliane

D'accord, merci beaucoup

Rouliane

Re,

J'ai un petit souci dans la suite :

On partait du système (1) :

$\begin{cases}
\partial_t h + \partial_x(hu)&=0 \\
\partial_t (hu)+\partial_x(hu^2+\frac{1}{2}gh^2)&=0}
\end{cases}$

J'ai montré que les solutions régulières de ce système étaient aussi solutions du système (2) :

$\begin{cases}
\partial_t a + \partial_x(au)&=0 \\
\partial_t (u)+\partial_x(a+\frac{1}{2}u^2)&=0}
\end{cases}$

On me demande ensuite de dire si ce dernier système est aussi vérifié par toutes les solutions faibles de (1).
>> Faut-il que je revienne à la caractérisation des solutions faibles ? en multipliant notamment par une fonction test, en intégrant, etc... ?

Merci

Rouliane

:-(

Rouliane

je remonte on sait jamais

Remarque0

Tu peux déjà vérifier si les vitesses de choc données par la relation de Rankine-Hugoniot sont les mêmes ou non.

Rouliane

Mais qu'est ce qui me prouve que j'aurais un choc ? et je ne connais pas la forme de la donnée initiale...

Remarque0

Rien. La foi dans le fait que les chocs vont finir par se développer pour certaines données initiales même très régulières. Ou parce qu'on a envie de résoudre le problème de Riemann. Que sais-je... ce ne sont pas les motivations qui manquent.

Plus sérieusement, quand on te demande est-ce que ces deux systèmes ont les mêmes solutions, la réponse est soit oui, au sens de pour toutes données initiales, on a la même solution, soit non, au sens où il existe une solution initiale telle que les solutions soient différentes. Comme tu as déjà montré que les solutions régulières sont les mêmes, faut aller chercher du côté des solutions discontinues, par ex. avec une donnée initiale discontinue.

Rouliane

d'accord, merci, je vais réfléchir à ça.

Rouliane

Mais je fais comment pour la relation de Rankine-Hugoniot ? Car ici, F est vectorielle.
je vais voir si y'a une formule "générale".

Remarque0

Ah oui mince, tu as raison c'est vectoriel. C'est plus compliqué... est-ce que tu as déjà entendu parler des invariants de Riemann ?

Rouliane

Non, je ne connais pas du tout.
C'est bizarre parce qu'on n'a pas fait du tout ça en cours, pas sympa la prof

Remarque0

Ca veut sans doute dire qu'il faut procéder autrement... mais je ne vois pas trop comment.

Rouliane

Ce n'est pas grave, merci beaucoup en tout cas pour ton aide !

Remarque0

Une idée : soit $H$ la fonction de Heaviside. Je prends $g=1$ donc $a=h$. Il me semble que $a(x,t)=\frac12 H(x-t)$, $u=H(x-t)$ est solution du second système, mais pas du premier. L'avantage de la fonction de Heaviside, c'est de linéariser tous les produits : par ex. $u^2=u=2 a$, etc.

Rouliane

Merci, je vais regarder ça.

Mais juste un truc que je comprends pas trop : ici, une solution, c'est bien un couple ( h, hu) ?

Remarque0

Non, c'est un couple $(h,u)$ ou $(a,u)$ pour le deuxième.

Rouliane

D'accord, merci.

Rouliane

j'ai essayé de faire avec ton contre-exemple, ça a l'air effectivement de marcher, merci. J'aurais jamais trouvé tout seul.

Par contre, quand je dérivé $H(x-t)$, comment se note le Dirac ?

J'ai une question sinon par rapport à une question précédente : on devait montrer que les solutions régulières de (1) sont aussi solutions de (2).
Pour cela, je faisais apparaitre la 1ere équation de mon système dans la 2ème, puis j'aboutissais à :

$h\left( \partial_t(u)+ \partial_x(a+\frac{1}{2}u^2) \right) = 0$

Et je divisais par $h$ qui est strictement positif (hypothèse nécessaire pour que le système soit hyperbolique).

Mais je me demande si j'ai le droit de considérer dans cette question que $h$ ne s'annule pas alors que rien ne me l'indique.
bf Est-ce que, à ton avis, je dois garder cette hypothèse dans la suite du problème ?
Parce que sans cette hypothèse, ça me parait difficile.

[Rouliane : Est-il nécessaire de hausser le ton ? AD]
[AD : le gras avait pour but de mettre en avant les questions. Mais je l'enlève si ça gene.]

jacques1

Quel char, ce Dirac !

[Contrepéter gratuitement, c'est lourd :X AD]

Remarque0

Rouliane : pour dériver ce genre d'expression, il vaut mieux être un peu prudent et utiliser la définition. Par ex. (je pose $T=H(x-t)$)
$$\Bigl\langle\frac{\partial T}{\partial x},\varphi\Bigr\rangle=-\int_{\R^2}H(x-t)\frac{\partial \varphi}{\partial x}\,dxdt=-\int_{\R}\int_{t}^{+\infty}\frac{\partial \varphi}{\partial x}\,dxdt=
\int_{\R}\varphi(t,t)\,dt.
$$
Donc, c'est bien une sorte de Dirac, mais porté par la diagonale de $\R^2$. Tu peux le noter $\delta_{x=t}$ à condition de bien comprendre ce que \c ca veut dire. De la même fa\c con,
$$\Bigl\langle\frac{\partial T}{\partial t},\varphi\Bigr\rangle=-\int_{\R}\int_{-\infty}^{x}\frac{\partial \varphi}{\partial t}\,dtdx=-
\int_{\R}\varphi(x,x)\,dx.
$$
On a donc bien $\frac{\partial T}{\partial x}+\frac{\partial T}{\partial t}=0$.

Sinon, pour ta question sur $h>0$, non effectivement rien ne te garantit que $h$ va rester positive au cours du temps à ce stade. Donc c'est une hypothèse que tu dois faire, ne serait-ce que pour conserver l'hyperbolicité. Il n'y a plus qu'à croiser les doigts en espérant que $h$ ne s'annulera pas dans la vraie vie...

Rouliane

Merci beaucoup

Rouliane

Par contre c'est un peu étrange de prendre un t qui varie dans R. ca serait plus logique de le prendre dans R+, non ?

Remarque0

Non, c'est un calcul au sens des distributions dans $\R^2$. Il est donc a fortiori valable dans $\R\times\R_+^*$.

Sinon, l'exemple en question se tire quand même un peu une balle dans le pied, puisque c'est un exemple où $h$ n'est pas strictement positive... Bon, mais je présume que l'idée de l'exercice c'est de vous convaincre qu'un changement de fonction inconnue dans une équation non linéaire ne conserve pas en général les solutions faibles, même si il conserve les solutions régulières.

[Corrigé selon ton indication. AD]

Rouliane

Oui, c'est vrai que c'est pas strictement positif, mais comme tu le dis, le but c'est surement de nous faire manipuler des systèmes non linéaires.

Par contre, je viens de me rendre compte de quelque chose, et je vois pas ma faute.

Si j'écris : $\displaystyle \Bigl\langle\frac{\partial T}{\partial x},\varphi\Bigr\rangle=-\int_{\R^2}H(x-t)\frac{\partial \varphi}{\partial x}\,dxdt$ et je dis que ça vaut alors : $\displaystyle -\int_{-\infty}^{x}\int_{\R}\frac{\partial \varphi}{\partial x}\,dxdt$ ( j'ai pas mis les mêmes bornes que toi ) alors mon résultat vaut 0 vu que phi s'annule aux inifinis.
Je trouve pas le même résultat : quelle est mon erreur ?

egoroff

Hum hum, écrire $ \displaystyle -\int_{-\infty}^{x}\int_{\mathbb{R}}\frac{\partial \varphi}{\partial x}\,dxdt$ ne veut pas dire grand-chose, $x$ est une variable muette de l'intégrale intérieure et donc ne peut pas intervenir dans les bornes de l'intégrale extérieure en $t$.

Soit tu écris $\displaystyle \int_{x \in \R} \int_{t=-\infty}^x \frac{\partial \varphi}{\partial x}(t,x)\,dtdx$ soit tu écris $\displaystyle \int_{t \in \R} \int_{x=t}^{+\infty} \frac{\partial \varphi}{\partial x}(t,x)\,dxdt$. C'est la seconde expression qui est la plus pratique pour éliminer la dérivation en $x$ (attention aux signes).

Rouliane

Oui, bien sur, quel idiot !

Sinon, pour revenir au problème initial, j'ai demandé à ma prof, et la relation de Rankine-Hugoniot il existe dans le cas vectoriel.
C'est analogue au cas scalaire sauf que la relation est vérifiée composante par composante.

Rouliane

Si vous avez une idée de la façon de le montrer avec la relation de Rankine-Hugoniot, je suis preneur.

Si on considère (h,u) une solution faible de (1), on a alors les relations de Rankine-Hugoniot suivantes :

$ [hu]=\sigma[h]$ et $ [hu+\frac{1}{2}gh^2]=\sigma[hu]$

On va essayer de voir si la relation de R-H est vérifiée pour le 2ème système.
En remplaçant $a$ par $gh$, on montre sans difficulté qu'on a bien $[au]=\sigma [a]$

Mais je n'arrive pas du tout à montrer que la relation de R-H n'est pas vérifiée pour la 2ème équation, c'est à dire qu'on a pas : $ [a+\frac{1}{2}u^2]=\sigma$

J'ai essayé de partir des relations du 1ere système mais j'arrive à rien. Je n'ai aucune idée par exemple comment me débrouiller pour faire apparaitre du $[\frac{1}{2}u^2]$. C'est le h qui me pose à chaque fois problème.

Merci

Remarque0

Si \c ca ne t'embête pas, on va revenir à la forme standard d'un système hyperbolique. Le premier système s'écrit
$$\frac{\partial U}{\partial t}+\frac{\partial F(U)}{\partial x}=0$$
avec
$$
U=\begin{pmatrix}u_{1}\\u_{2}\end{pmatrix}\hbox{ et }
F(U)=\begin{pmatrix}u_{2}\\\frac{u_{2}^2}{u_{1}}+\frac12u_{1}^2\end{pmatrix}
$$
avec $g=1$ pour simplifier. La relation avec la forme originale est $u_{1}=h$ et $u_{2}=hu$. Le deuxième s'écrit
$$\frac{\partial A}{\partial t}+\frac{\partial G(A)}{\partial x}=0$$
avec
$$
A=\begin{pmatrix}h\\u\end{pmatrix}\hbox{ et }
G(A)=\begin{pmatrix}au\\a+\frac12u^2\end{pmatrix}
$$
La relation avec la forme originale est $a=h$ et $u=u$. Pour comparer les deux formes, il faut donc se rappeler que $a=u_{1}$ et $au=u_{2}$.

Pour la relation de Rankine-Hugoniot, effectivement il suffit d'écrire une solution choc avec un état à droite et un état à gauche initiaux. Par contre, il n'y a pas de raison que la vitesse du choc soit la même selon les composantes, comme tu l'as écrit. C'est visiblement trop restrictif et impossible à satisfaire pour la plupart des couples d'états initiaux.

Pour le premier système, on obtient donc $\sigma_{1}[u_{1}]=[u_{2}]$ et $\sigma_{2}[u_{2}]=[\frac{u_{2}^2}{u_{1}}+\frac12u_{1}^2]$, $\sigma_{i}$ étant la vitesse de propagation du choc pour la composante $i$. Tu trouves donc
$$\sigma_{1}=\frac{[u_{2}]}{[u_{1}]}\hbox{ et }\sigma_{2}=\frac{[\frac{u_{2}^2}{u_{1}}+\frac12u_{1}^2]}{[u_{2}]}
$$
avec la solution
$$
U(x,t)=S(x,t)
U_{d}+(I-
S(x,t))U_{g}\hbox{\quad où \quad}S(x,t)=\begin{pmatrix}
H(x-\sigma_{1}t)&0\\
0&H(x-\sigma_{2}t)
\end{pmatrix}
$$
Maintenant, je suis prêt à parier que tu peux choisir des $U_{g}$ et $U_{d}$ relativement simples, calculer les $\sigma_{i}$ correspondants, coller la formule ci-dessus dans le second système en la traduisant en termes de $a$ et de $u$ et vérifier que ce n'est pas une solution (tu ne pourras pas directement le faire avec les relations de Rankine-Hugoniot du deuxième système car le changement de fonctions inconnues mélange les composantes).

[Corrigé selon ton indication. AD]

Rouliane

Merci beaucoup, je vais essayer dans cette voie là.
Par contre, je persiste que ma prof m'a dit que la vitesse était bien la même pour chaque composante ( j'ai d'ailleurs insisté sur ce point parce que j'étais persuadé que les vitesses étaient différentes, et elle m'a assuré que non).

Par contre, je n'ai pas compris d'où sort le système U=SUd+(I-S)Ug ? Comment trouves-tu ça directement ?

Remarque0

Tiens, c'est curieux. J'ai l'impression que si on impose la même vitesse de propagation sur les deux composantes, ça restreint considérablement les valeurs possibles pour les deux états. M'enfin.

L'écriture de $U$ c'est juste une façon condensée d'écrire que le choc sur $u_1$ se propage à la vitesse $\sigma_1$, car si $x\le \sigma_1 t$, $H(x-\sigma_1 t)=0$, etc.

Merci à AD pour la rectification de mes étourderies !
[A ton service AD]

Rouliane

ah oui bien sur, merci !