Le polynôme n ²+n+1 et les nombres premiers.

Airy

Bonjour,

Après un exercice fait en classe, je me suis rendu compte que le polynôme n²+n+1 générait des nombres premiers avec une certaine régularité ($n$=1,2,3,5,6,8,12,14, etc et on obtient 33 nombres premier pour $0 \leq n \leq 100 $).

Je sais que l'on peut construire des polynôme (de degré 2) qui donnent des nombres premiers pour $n$ plus petit qu'un entier donné, je connais les résultats avec les polynômes du premier degré ($4n+1$ par exemple), mais je ne me souviens pas d'un résultat ou d'une conjecture avec des polynômes de degré 2 qui donnent une infinité de nombres premiers.

J'ai juste vu que comme (n+1)²+(n+1)+1-(n²+n+1)=2(n+1), j'ai pensé que cela pourrait être lié à la conjecture de Golbach (mais je n'ai rien étudié à ce propos).

D'avance je vous remercie pour les éventuelles infos.

Airy.

Joaopa

Il y a une conjecture (conjecture de Boniakowsky ??, Biniokowsky ??? un truc dans ce genre) qui dit

Soit $P$ un polynôme à valeurs entières (ie $P(\mathbb Z)\subset\mathbb Z)$ tel qu'il n'existe pas d'entier $d\neq\pm 1$ avec la propriété
$$\forall n\in\mathbb Z,\ d\mid P(n)$$
alors il existe une infinité de nombre premiers dans $P(\mathbb Z)$.
La conjecture initial est pour le polynôme $P(X)=X^2+1$.

Joaopa

borde

Le problème posé ci-dessus entre plus généralement dans la recherche de suites moins denses que les suites $an+b$ (avec $(a,b)=1$) et le résultat de Dirichlet.

Le 1er à s'être intéressé à cette question difficile fut Piatestki-Shapiro au début des années 50, avec son étude sur la répartition des nombres premiers dans les suites $[n^c]$ ($[t]$ est la partie entière) où $c$ est un réel vérifiant $1 < c < c_0$ et $c_0$ est un réel fixé. C'est une sorte de généralisation du résultat de Dirichlet à des degrés non entiers.

Le but est d'améliorer la valeur de $c_0$, en remarquant que $c=2$ ne donne évidemment aucun nombre premier dans cette suite. On conjecture (donc) que $c_0=2$ est la borne supérieure correcte. Shapiro a obtenu $c_0 = \tfrac {12}{11} \approx 1,0909\dotsc$, et le record actuel, obtenu par Rivat et Sargos en 2001, est $c_0 \approx 1,16117 \dotsc$.

Aujourd'hui, ce problème sert à mesurer les progrès accomplis dans les estimations des {\it sommes d'exponentielles}, très présentes en TAN.

Quant à des répartitions de suites moins denses encore, les grands pontes actuels (Friedlander, Iwaniec, Heath-Brown) ont élaboré et utilisé des versions très compliquées des méthodes de cribles pour obtenir qu'il y a une infinité de nombres premiers de la forme $a^2+b^4$ (Friedlander et Iwaniec, 1997) et de la forme $a^3+2b^3$ (Heath-Brown, 2001), avec $a,b \geqslant 1$ entiers (voir mon livre page 83).

Borde.

Airy

Merci pour ces réponses très éclairantes.

De plus, je pense que c'est parce que la suite $n^2+n+1$ n'est pas très "bonne"(dans le sens densité comme l'a évoqué Borde) que l'on en "parle moins"(au niveau des études) que les suite type $an+b$.

Encore merci.

borde

Oui, et aussi à cause de la très grande difficulté du problème, où (comme souvent en arithmétique), la simplicité de l'énoncé ne présage en rien de sa difficulté à le résoudre.

Pour info, les deux résultats indiqués ci-dessus (à savoir l'infinitude des nombres premiers de la forme $a^2+b^4$ et $a^3+2b^3$) ne peuvent être résolus que par très peu de gens au monde.

Borde.

Algibri

Et que dire de ce résultat bizarre

Une chaîne de 24 nombres premiers!!!

4211 4217 4219 4229 4231
4241 4243 4253 4259 4261
4271 4273 4283 4289 4297
4327 4337 4339 4349 4357
4363 4373 4391 4397

Vous ôtez 4200 à chacun des nombres premiers ci-dessus listés dans leur ordre Pk et vous n'obtenez que des premiers!!!
24 nombres premiers!!! Vérifiez...

11 17 19 29 31
41 43 53 59 61
71 73 83 89 97
127 137 139 149 157
163 173 191 197

plus de détails ici

On peut obtenir de très longues de ce type (1000 et plus).

hde92

Bonjour,
Dans la même veine, j'ai conjecturé:
Il existe une infinité de n tels que les valeurs de 4n^2+1 et 4n(2n^2+1)+1 sont simultanément premier (l'origine de cette conjecture est un peu compliquée à expliquer).
Plusieurs records: n=450!+42455, 4561880^256/2
Plus fort en rajoutant le polynôme 32n^4+8n^2+1: n=2^1024+693904189 donne 3 valeurs premières pour les 3 polynômes.