surfaces de Riemann et détermination du log

mathelot

Bonjour,

J'ai un exposé de prépa agreg à faire sur la détermination du $\log$ complexe et je souhaiterais en profiter pour donner un aperçu des surfaces de Riemann, sujet que je connais mal :

1) Avez-vous une bibliographie ?
2) Est-ce qu'une surface de Riemann peut être considérée comme une variété abstraite destinée à rendre univoque une fonction multiforme ? Les surfaces de Riemann sont-elles classifiées ? Est-ce que je peux présenter la surface associée au $\log$ complexe comme le collage de $\Z$ copies de $\C \setminus \R^{-}$ ?
3) D'autre part, où pourrais-je avoir des infos sur l'opérateur $\frac{\partial}{\partial \bar{z}}$ ? Est-ce qu'une fonction de $\R^2$ dans $\R^2$, développable en série, dans le noyau de cet opérateur, est nécessairement holomorphe ? Parce que je souhaiterais retrouver une fonction holomorphe de la variable $z$ à partir de la fonction de deux variables réelles $x$ et $y$,
$$f(x,y)= \ln(|x+iy|) + 2i \arctan \left( \frac{y}{x+\sqrt{x^2+y^2}} \right)$$
En espérant ne pas avoir écrit trop de bêtises.
Cordialement,

mathelot

je remonte le fil... je cherche de la doc sur les surfaces de Riemann.
il y a quelqu'un ?

olib

Pour la surface de Riemann du Log,tu peux regarder dans le livre de B. Chabat: Introduction à l'analyse complexe. tome 1. Editions Mir. Il y a de trés belles illustrations et tout est expliqué.Ca se trouve dans toute bonne bibliothèque universitaire.
Pour le 3), c'est complètement confus ce que tu écris. Lis ou relis un cours sur le sujet, le livre de Rudin (Analyse réelle et compexe) faisant l'affaire.

Fadalbala

Bonjour Mathelot,

je ne suis pas un specialiste des surfaces de Riemann, neanmoins c'est un sujet qui est aborde classiquement dans un cours sur les courbes algebriques complexes, aussi j'ai un peu etudie ca dans ma prime jeunesse.

Pour commencer, je peux te suggerer de jeter un coup d'oeil a la fin du livre d'Henri Cartan, theorie des fonctions analytiques, chez Hermann, un vieux cours de Paris 6 de licence/maitrise mais qui fait toujours reference en analyse complexe. Il me semble qu'il y aborde les surfaces de Riemann pour enoncer le theoreme des residus generalises.

Sinon je peux te conseiller trois livres:

1) "Complex Algebraic Curves", de Frances Clare Kirwan, London Mathematical Society, Student texts 23.

C'est un livre sur les courbes algebriques, mais plus porte sur la topologie et l'analyse que sur l'algebre en fait, elle y parle de
la definition "abstraite" des surfaces de Riemann, et de quelques concepts comme l'indice local d'un morphisme de surfaces de Riemann. C'est tres bien ecrit (il faut dire que Kirwan est excellente en recherche ET enseignement) et ne suppose aucun prerequis.

2) Dans "principles of algebraic geometry", de Griffiths/Harris, il y a des chapitres consacres aux surfaces de Riemann. C'est un pave qui fourmille d'informations, et c'est tres bien ecrit aussi.

3) "Riemann surfaces", de Farkas/Kra. Pareil: deux sommites du domaine, tres bien ecrit, mais d'un niveau superieur aux precedents.

Tres rapidement, je reponds aux autres questions:

- "Est-ce qu'une surface de Riemann peut être considérée comme une variété abstraite destinée à rendre univoque une fonction multiforme ?"

Oui, le concept de surface de Riemann prend sa racine dans la theorie des fonctions analytiques, en particulier de fonctions (exemple: une determination de la racine carree de $z$) qu'on ne peut prolonger "naivement" a tout le plan sans tenir compte du "nombre de tours" qu'on fait.

Les surfaces de Riemann aparaissent ainsi comme des revetements du plan complexe, c'est a dire des varietes analytiques munies de morphismes $p$ vers $\mathbb{C}$ dont les fibres parametrent les solutions $p(z)=a$, $a \in \mathbb{C}$. Ce qu'on appelle une fonction "multiforme" c'est en fait une section $s$ de cette fibration, c'est-a-dire un morphisme analytique d'un ouvert de $\mathbb{C}$ vers la surface de Riemann tel que $p \circ s = id$.

Exemple: On prend la surface de Riemann $S = \{ (z,u) \hspace{0.1cm} | \hspace{0.1cm} e^u = z \}$ et on considere la projection $p: S \rightarrow \mathbb{C}$ sur le premier facteur. En fait l'image de $p$ est $\mathbb{C}^* $ comme tu sais. Alors une section $s$ est donnee par une determination de la fonction $\log$ sur $\mathbb{C}$ prive d'une demi-droite fermee en $0$. Sur le meme ouvert, deux sections different d'un terme additif multiple entier de $2i \pi$.

C'est pour ca qu'on emploie le terme malvenu de fonctions "multiforme": c'est pour dire qu'il y a un choix a faire, mais attention, en aucun cas cela ne veut dire que la fonction prend plusieures valeurs en meme temps au meme point!

{\bf{Revenant a l'exemple}}: en revanche, il existe une fonction $\log $ bien definie sur la surface de Riemann $S$ (puisque prendre un point sur $S$ c'est choisir une solution au dessus de $z \in \mathbb{C}^* $, qui est donc une fonction analytique analytique $\log_S : S \rightarrow \mathbb{C}$.

Aussi, et c'est ta question $2^{'''}$, tu n'as que partiellement raison quand tu dis que la surface de Riemann du $\log$ c'est un empilement denombrable de copies de $\mathbb{C} \setminus \mathbb{R}_{-}$: tu ne decris qu'un ouvert de $S$.

Ce qui se passe c'est que quand on fait un tour et qu'on revient sur la demi-droite, on passe a un feuillet superieur sur $S$. Ce deplacement d'un feuillet au feuillet superieur est bien defini tant qu'on vit au dessus de $\mathbb{C}^* $: il n'y a aucun espoir de definir une seule fonction $\log $ analytique en $0$.

Pour ta question $2^{''}$, elle est trop vague: il n'existe aucune "classification" completement aboutie des surfaces de Riemann, d'autant que tu ne precises pas quelles genres de surfaces tu consideres, compactes ou pas.

Les surfaces de Riemann deduites des courbes projectives complexes sont partiellement classees par un invariant tres important: le genre, qui est la dimension de l'espace des formes differentielles meromorphes sur la surface.
A l'interieur d'une classe de genre fixe, il y a "beaucoup" de surfaces non isomorphes, qui peuvent etre classees selon, si l'on veut, $3 g - 3 $ "parametres de modules". C'est le debut de la theorie tres difficile des espaces de modules de courbes.

Il y a aussi d'autres facons de classer des surfaces de Riemann, selon leur "structure hyperbolique": chaque surface de Riemann compacte de genre $2$ est quotient du demi-plan de Poincare par l'action d'un sous-groupe qui agit proprement discontinuement (on en parlait encore il y a peu). Mais cette classification fait l'objet de recherche a l'heure actuelle, meme en genre $2$.

Pour ta question 3), le noyau de $\partial / \partial \overline{z}$ est par definition forme des fonctions differentiables dont la differentielle est $\mathbb{C}-$lineaire, ce qui est la definition des fonctions analytiques.

Pour la derniere question, ce n'est qu'une determination du $\log$ complexe il me semble.

{\bf{Toute toute derniere chose, la plus importante}}: si c'est un expose d'agreg, et que tu ne connais pas grand chose aux surfaces de Riemann, n'en parle meme pas. Parce que ca ne s'apprend pas rapidement le temps de ta preparation, et le jury peut te poser facilement des questions pour te coinceront, ce qui peut faire s'ecrouler ta note.

olib

Fadalbala,

Je pense aussi que vu l'état des connaissances de Mathelot, il ne vaut mieux pas qu'il prenne les surfaces de Riemann comme sujet de développement à l'agrég. Ca risque de lui demander bien trop de travail. Bien que s'il s'agisse uniquement de la surface du log , en lisant quelques heures la référence de Chabat que je lui ai soumise, il peut maîtriser suffisament le sujet. Mais ne rien comprendre apparemment à l'holomorphie et son lien immédiat à l'opérateur de Cauchy-Riemann montre qu'il semble y avoir un manque de connaissance générale en analyse complexe.

J'ai juste une question d'ordre général qui me trotte dans la tête et je vois que vous connaissez bien le sujet: quelles types de surfaces de Riemann peut-on plonger dans un espace projectif de dimension finie. On sait qu'on peut plonger toutes les surfaces de Riemann compactes dans un projectif fini, est-ce que cette propriété s'étend à d'autres surfaces non compactes au moins partiellement?Qu'en est-il pour la surface riemannienne d'un germe de fonction analytique?( comme le log).
Pour la surface du log , ça me semble faux parce que les déterminations sont infinies. J'aurais tendance à généraliser pour toutes les surfaces de Riemann des germes analytiques selon la détermination finie ou non: finie, donc plongement,infini donc pas de plongement(on ne peut voir la surface du log comme une variété algébrique).

mathelot

Je vais essayer de digérer tout cela. Pour le rapport entre
holomorphie et différentiabilité, il faut que je revoie le b-a-ba.(ça date de plusieurs dizaines d'années).
merçi encore pour vos réponses détaillées.

olib

Alors bon courage, Mathelot!

Fadalbala

"On sait qu'on peut plonger toutes les surfaces de Riemann compactes dans un projectif fini, est-ce que cette propriété s'étend à d'autres surfaces non compactes au moins partiellement?"

Je ne sais pas. Comme vous, j'ai entendu parler du theoreme de Riemann (dimension $1$, compact complexe --> projectif), mais un resultat avec une conclusion plus faible comme quasi-projectif au lieu de projectif ne m'est pas connu.

Fadalbala

Par simple curiosité j'ai tapé "non compact riemann surfaces" sur google, et après deux clics je suis finalement tombe sur la page wikipedia que voici :

\lien{http://en.wikipedia.org/wiki/Stein_manifold#Properties_and_examples_of_Stein_manifolds} Stein manifolds

Une variété de Stein est une variété affine analytique, c'est-à-dire une sous-variété analytique d'un $\mathbb{C}^n $.

Je cite la phrase relative aux surfaces de Riemann non compactes :
"{\it In one complex dimension the Stein condition can be simplified: a connected Riemann surface is a Stein manifold if and only if it is not compact. This can be proved using a version of the Runge theorem for Riemann surfaces, due to Behnke and Stein.}"

Donc suivant ce théorème une surface de Riemann non compacte se plonge quand même (grâce à des fonctions analytiques) dans un espace affine. Intéressant résultat que j'ignorais.

Pour ce qui est de la surface du $\log$, il me semble que c'est celle que j'ai donnée dans mon premier message : $S = \{ (z,u) \, | \, exp (u) = z \}$. Elle est analytique affine. Le fait qu'il y ait un nombre dénombrable de points dans la fibre est un obstacle à être algébrique (et pour cause $\exp $ n'est pas algébrique), mais pas à être analytique.

PS: à AD, désolé mais je ne comprends pas pourquoi mon lien et mon italique ne s'activent pas.
[Fadalbala : Quand la case LaTeX est cochée, les bannières BBcode ne fonctionnent plus.
Il faut utiliser les commandes LaTeX correspondantes : \verb=\lien{...}= et \verb={\it ...}=. AD]

olib

Merci pour les réponses. Je ne suis pas un spécialiste et je me demandais pourquoi dans les cours que j'ai suivis ou lus les surfaces de Riemann étaient toujours supposées compactes quand on cherchait à les classifier ou les plonger dans un projectif et si on ne pouvait pas enlever l'hypothèse.