Méthode des caractéristiques
Bonsoir,
On considère, {\bf dans le cas $f(u)=\dfrac{u²}{2}$ }, le système :
\qquad \begin{cases}
\partial_t u + \partial_x f(u) &=0 \\
u(x,0)&= u_0(x)
\end{cases}
et les caractéristiques sont données par :
\qquad \begin{cases}
\dfrac{\mathrm d(x(t))}{\mathrm dt} &=f'(u)(x(t),t) \\
x(t_0)&=x_0
\end{cases}
J'ai bien compris comment on montre que la solution $u$ est constante le long des caractéristiques.
Dans le cas où $f$ était de la forme $f(u)=au$, avec $a$ constante, on pouvait déterminer une équation des caractéristiques, donnée par $x=x_0+at$
Mes questions sont les suivantes :
\begin{itemize}
\item Dans le cas $f(u)=\dfrac{u²} 2$, on a bien, comme dans le cas $f(u)=au,\ u(x,t)=u_0(x_0)$ ?
\item Dans le cas $f(u)=\dfrac{u²}2$, est-ce qu'on peut aussi déterminer l'équation de ces caractéristiques ?
\end{itemize}
Merci
On considère, {\bf dans le cas $f(u)=\dfrac{u²}{2}$ }, le système :
\qquad \begin{cases}
\partial_t u + \partial_x f(u) &=0 \\
u(x,0)&= u_0(x)
\end{cases}
et les caractéristiques sont données par :
\qquad \begin{cases}
\dfrac{\mathrm d(x(t))}{\mathrm dt} &=f'(u)(x(t),t) \\
x(t_0)&=x_0
\end{cases}
J'ai bien compris comment on montre que la solution $u$ est constante le long des caractéristiques.
Dans le cas où $f$ était de la forme $f(u)=au$, avec $a$ constante, on pouvait déterminer une équation des caractéristiques, donnée par $x=x_0+at$
Mes questions sont les suivantes :
\begin{itemize}
\item Dans le cas $f(u)=\dfrac{u²} 2$, on a bien, comme dans le cas $f(u)=au,\ u(x,t)=u_0(x_0)$ ?
\item Dans le cas $f(u)=\dfrac{u²}2$, est-ce qu'on peut aussi déterminer l'équation de ces caractéristiques ?
\end{itemize}
Merci
Réponses
-
un petit up au cas ou
-
Ben oui, puisque $u$ est constante sur les caractéristiques, $f'(u)$ aussi et les caractéristiques sont les droites $x(t)=f'(u)(t-t_0)+x_0$ où $f'(u)=f'(u_0(x_0))$.
-
Merci beaucoup !
J'avoue que j'ai du mal à voir le but d'introduire les caractéristiques ?
En quoi ça nous facilite dans la recherche des solutions ? Qu'est-ce que ça donne comme informations ?
De plus, je ne vois pas du tout ce qu'on représente lorsqu'on trace les caractéristiques dans le domaine (x,t) : qu'est-ce que ça nous permet de visualiser par rapport à la solution u ?
Merci -
Ben oui, ça te donne la solution sous forme pratiquement explicite tant que les caractéristiques ne se croisent pas. Ce que visualisent les caractéristiques, c'est le transport de la donnée initiale. La valeur de $u$ sur une caractéristique est la valeur de $u_0$ au pied de cette caractéristique (en $t=t_0$). Plus la caractéristique est inclinée, plus la vitesse de propagation est rapide.
Dans le cas linéaire, les caractéristiques ont toutes la même pente : la vitesse de propagation est constante. Dans le cas de Burgers, la pente dépend de la valeur de la donnée initiale au pied de la caractéristique : plus elle est grande, plus la propagation est rapide. C'est un peu comme une vague telle que la vitesse de chaque particule est égale à son altitude. Tu peux imaginer ce qui se passe si la donnée initiale est décroissante ? (Mais là, peut-être que je suis en train de gâcher l'effet de surprise de ton cours...) -
Merci beaucoup, c'est bien plus clair maintenant.
Si la donnée initiale est décroissante, j'imagine que la propagation est de plus en plus lente ?
edit : entre les caractéristiques, on n'a aucune info sur u en fait ? -
Oui, de gauche à droite et si $u_0$ est positive. Alors disons même plus décroissante et positive. Qu'est-ce qui va se passer au bout d'un certain temps (essaie d'imaginer le graphe de $x\mapsto u(x,t)$ à $t$ fixé et comment il se déforme quand $t$ augmente).
-
à un certain t ça va s'arreter, non? ( la propagation sera nulle )
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Pas vraiment... Imagine que tu pars d'une bosse bien symétrique, et qu'elle se déforme vers la droite, mais que les points du sommet de la bosse vont plus vite que ceux de la base.
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Ahahh, je sens qu'egoroff a le feeling du surfeur !
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lol
Sinon, j'ai pas trop compris ce qu'était une bosse symétrique. Quand vous parlez de la bosse, c'est la forme de U0 ? Mais ici on considérais le cas U0 décroissante, comment peut-il y avoir une bosse ? ( je comprenais par bosse quelque chose qui ressembe à une Gaussienne par exemple )
Dans le cas où la donnée initiale est décroissante, si je raisonne à t fixé, le graphe que x-->u(x,t) va etre décroissant. Et plus t augmente, plus il va etre "à plat" ?
à moins que ma donnée initiale puisse etre négative et dans ce cas là je vais me retrouver avec une vitesse de propagation négative mais dans ce cas là je vois pas trop ce que ça fait. -
Yeah monseigneur, ça farte grave B-)-
Rouliane : non le graphe ne s'aplatit pas, puisque justement, toutes les valeurs sont conservées, ce que tu as montré avec les caractéristiques. En revanche il se déforme puisque les valeurs "hautes" se déplacent plus vite que les valeurs "basses". Si tu ne vois vraiment pas ce qui va arriver, regarde seulement deux points $x_0 < x'_0$ tels que $u_0(x_0) > u_0(x'_0)$ et regarde ce qui se passe au cours du temps (si tu veux tu peux tracer les caractéristiques). -
C'est un peu vague comme indication non?
-
Certes, mais si j'en dis plus je dis tout !
-
Egoroff...ou l'art de la mesure...:D
-
egoroff Écrivait:
>
>
> Rouliane : non le graphe ne s'aplatit pas, puisque
> justement, toutes les valeurs sont conservées, ce
> que tu as montré avec les caractéristiques. En
> revanche il se déforme puisque les valeurs
> "hautes" se déplacent plus vite que les valeurs
> "basses". Si tu ne vois vraiment pas ce qui va
> arriver, regarde seulement deux points $x_0 <
> x'_0$ tels que $u_0(x_0) > u_0(x'_0)$ et regarde
> ce qui se passe au cours du temps (si tu veux tu
> peux tracer les caractéristiques).
Ok, je vais essayer de faire ça.
Mais je vois pas pourquoi les valeurs hautes se déplacent plus vite que les valeurs basses. C'est quoi les valeurs "hautes" d'ailleurs ? hautes par rapport à quoi ?
Sinon, on parle de propagation depuis le début, ou de transport. Mais c'est la propagation de quoi ? de la solution ? -
Dans le cas de Burgers, la vitesse (i.e. l'inverse de la pente) d'une caractéristique qui part d'un point $x_0$ est exactement $u_0(x_0)$. Plus cette valeur est grande (plus la vague est haute), plus la propagation de cette valeur est rapide. Réciproquement, une valeur basse (positive) est propagée plus lentement vers la droite. Une valeur nulle est propagée à vitesse nulle, elle ne bouge pas, et une valeur négative est propagée vers la gauche. Il s'agit de la propagation de la condition initiale.
-
Ok, merci.
Donc ma vague, c'est la fonction $u_0$, c'est bien ça ?
et les caractéristiques permettent de voir la propagation de cette vague ?
Par contre, pourquoi dis-tu que la vitesse est l'inverse de la pente, c'est pas tout simplement la pente ? -
Oui.
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Ah mais faut pas modifier en cours de route, parce que je ne suis plus ! La réponse à la deuxième question est non. Une caractéristique à vitesse nulle est verticale (dans le plan $(x,t)$).
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oui, bien sur, merci.
Désolé pour l'edit, j'ai essayé de le faire le plus vite possible :-( -
Je me rend compte que j'ai encore une question : quel interet de suivre le transport de notre donnée initiale $u_0$, alors que c'est la solution u qui nous intéresse ? On est d'accord que, le long des caractéristiques, u(x,t)=u0(x0), mais "entre" les caractéristiques, on ne sait rien du tout ?
-
Bonne question. Mais si $u_0$ est régulière, est-ce qu'il y a vraiment un "entre" les caractéristiques, au moins en temps petit ?
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non, effectivement.
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Joli dessin, monseigneur.
-
Egoroff, conçernant ta question, le graphe de x--> u(x,t) va tendre vers une fonction qui vaut 1 puis directement 0 ( discontinuité ) ?
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Oui, en effet c'est l'idée (la vague "déferle"). M'enfin pourquoi 0 et 1 ? Et puis ce n'est pas "tendre", ça arrive effectivement, et en temps fini !
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ok.
Oui, c'est vrai pas de raison que ça soit 1 et 0.
On peut déterminer d'ailleurs les valeurs de cette fonction "créneau" ?
J'avais en tete une fonction u0 qui n'est pas strictement décroissante , mais dans le cas strictement décroissante, c'est difficile de dessiner les caractéristiques, non ?
Dans le cas où la fonction u0 est par exemple constante, puis décroissante, puis constante, alors on peut dessiner le créneau qu'on va obtenir au bout d'un temps t, mais dans le cas strictement décroissante, j'en ai aucune idée. -
Voici ce qui se passe avec une fonction décroissante positive (j'ai pris $u_0(x)=-\frac{x/10}{1+|x/10|}+1$, tracé toutes les secondes). Au début tout va bien, mais si on prolonge les caractéristiques trop longtemps, elles se croisent. Le haut de la vague rattrape le bas et on obtient une courbe qui n'est plus le graphe d'une fonction.
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merci beaucoup !
vu que la pente de u0 est "douce", les caractéristiques ne se rencontrent qu'après un temps assez élevé ?
La première courbe qui est tracé sur ton dessin, c'est pour quel temps t ? Parce que son allure est assez marquée par rapport à l'allure de u0 qui se rapproche plus d'une fonction linéaire. -
La première courbe est bien $u_0$ à $t=0$. Pour l'allure, il faut faire attention aux échelles horizontales et verticales. A vue de nez, après huit-neuf secondes, les caractéristiques commencent à se croiser.
-
ok.
Mais elles se croisent pas toutes au même point, sinon, j'aurais un choc, non ?
d'ailleurs, à partir de la 9ème seconde à peu près, j'ai un graphe qui ne ressemble plus à une fonction ( la vague fait un creu ) : ça correspond à quoi au niveau des caractéristiques ? Le fait que certaines se croisent à différent point ?
ou plutot le fait que si je me place à un t après le temps auquel certaines caractéristiques se croisent, je vais par exemple rencontrer dabord la caractéristique qui a pour pied x10, puis apres celle qui a pour pied x9 ?
je sais pas si c'est clair ce que je raconte... -
Tiens remarque je suis curieux de voir comment on peut formuler les solutions dont tu parles, celles qui ne sont pas le graphe d'une fonction. Sinon, l'onde de choc peut aussi se "dissiper" non ? Peut-être pas pour Burgers mais je sais que physiquement ça arrive donc il doit y avoir des EDP pour lesquelles ça arrive.
-
Rouliane : Ouiiii, j'ai un peu de mal à voir ce que tu veux dire. Ce qui compte c'est le premier instant où deux caractéristiques se coupent. C'est le premier instant où le graphe ne devient plus un graphe : typiquement une dérivée devient infinie en un point. Pour prolonger de façon raisonnable après cet instant, il faut effectivement mettre un choc (le vocabulaire vient de la dynamique des gaz où $u$ peut représenter une vitesse et une onde de choc, c'est une discontinuité de la vitesse). Mais la bonne façon de le faire ne peut pas s'expliquer en quelques lignes.
egoroff : c'est une notion de solution multi-valuée, mais je ne me rappelle plus trop du détail et ce n'est probablement pas dans le but de faire la même chose. Pour la dynamique ultérieure du choc, dans une situation 1D, le choc continue à se propager (c'est comme un tube), sauf éventuellement s'il interagit après avec d'autres chocs. Ici on a affaire à des équations de conservation, c'est un niveau de modélisation assez grossier. Si le choc finit bien par se dissiper physiquement, c'est que d'autres mécanismes entrent en jeu comme du frottement qui dissipe l'énergie en chaleur, et à ce moment-là les équations sont différentes. -
OK pour la solution multi-valuée, de toute façon il suffit en gros de prlonger les caractéristiques. En ce qui concerne la disparition d'une onde de choc il me semble qu'il s'agissait effectivement de dissipation énergétique (la compression soudaine de l'air dûe à l'onde provoque un échauffement).
-
Rouliane : j'ai dessiné quelques caractéristiques correspondant au calcul de tout à l'heure. Ca a plutôt l'air de commencer à se croiser entre $t=10$ et $t=11$. Enfin, ça ne doit pas être trop compliqué de faire le calcul exact, mais là j'ai la flemme.
-
En fait je ne pense pas qu'il y ait un premier instant d'intersection, à mon humble avis l'ensemble de $t$ tels qu'il existe $x_1 \neq x_2$ avec $\chi(x_1,t)=\chi(x_2,t)$ ne contient pas sa borne inférieure (où $x=\chi(x_0,t)$ est l'équation de la caractéristique issue de $(x_0,0)$). Le point d'intersection entre les caractéristiques issues de $x_1,x_2$ est donné par $t(x_1,x_2)=\frac{x_2-x_1}{u_0(x_1)-u_0(x_2)}$ (distance divisée par la vitesse relative) ce qui est optimal lorsque $x_1,x_2$ sont très proches du point $x_m$ de dérivée maximale, et le supremum est sauf erreur $-1/u'_0(x_m)$. Dans ton exemple je crois que $x_m=0$ et $t_m=10$ mais bon je peux me tromper, il estt tard.
-
Tu as très certainement raison. Je n'ai pas vraiment fait attention à la rigueur. Mea culpa.:P
-
Ah mais ce n'était pas un reproche, ni une contre-proposition, juste une participation au débat
D'ailleurs je trouve assez contre-intuitif le fait que l'ensemble des temps "non problématiques" soit un fermé et l'ensemble des temps problématiques soit un ouvert, j'aurais dit l'inverse. -
Merci pour les dessins, je vois bien mieux ce qui se passe.
Je vais essayer de mieux expliquer ce que je voulais dire hier à 23:15.
Je joins le schéma suivant que j'ai fait rapidement :
Or la pente de la caractéristique issue de x2 est plus petite que celle issue de x1 qui elle même etc...
==> Est-ce celà qui crée le creux de la vague ? ( là où notre graphe n'est plus une fonction )
Si c'est pas ça la raison ( j'ai l'impression que ça ne l'est pas d'ailleurs ), quel est la conséquence sur notre graphe de rencontrer d'abord la caractéristique issue de x2 puis etc ...
je sais pas si c'st plus clair -
Non, ce n'est pas tout à fait ça. La raison est que en un point où deux caractéristiques se coupent, la fonction est multivaluée : elle prend les valeurs de la donnée initiale au pied des deux caractéristiques. Ici, pour des raisons de valeurs intermédiaires, il y a dans cette région trois caractéristiques qui se coupent en un même point et la fonction prolongée le long des caractéristiques est tri-valuée.
Sur mon dessin de 23h53 hier, tu peux imaginer en plus que chaque caractéristique est située à une hauteur égale à la donnée initiale à son pied. Ce que l'on voit sur le dessin est une projection sur $(x,t)$ de cette surface. Quand ça se recoupe sur la projection, c'est que le nappe s'est un peu repliée sur elle-même. Et les courbes solution sont exactement les sections de cette surface à $t=Cte$. Ca s'appelle une fronce en théorie des catastrophes je crois. -
merci bien
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Moralité : pour comprendre ce qui se passe il vaut mieux oublier un peu les caractérisiques et se laisser porter par la wave
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B-)
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Tout à fait
Je n'avais pas du tout imaginé que ça marchait comme ça, l'histoire de la projection de la surface ça permet vraiment de mieux voir ce qui se passe. -
Allez, comme vous avez été bien sages ce soir, je vous ai fait une wave encore plus jolie que la précédente.
-
Bah j'aurai bien voulu lancer un
> plot3d({x+t*x/(10+abs(x)),t,x/(10+abs(x))},x=-20..20,t=0..25);
pour faire un dessin encore plus beau mais mon Maple ne veut pas démarrer (il faut vraiment que je change d'ordinateur). Si une bonne âme passe par là... -
Mon dieu ! Maple, quelle horreur(td). Grapher, sous Mac OS X :
-
Connaissez vous un ouvrage simple utilisable à l'épreuve orale de modélisation option calcul scientifique qui explique sans rentrer dans des considérations théoriques fumeuses la méthode des caractéristiques
-
Super les graphes !
Juste pour information : vous avez pris u_0(x)=1-[x/(10+abs(x))], c'est bien ça ? -
Yep. Oui, belle vague, mais qui moire un peu sur la droite
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