Préhilbertien, projection et Fourier

e=mc3

Bonjour

Je vous rappelle qu'on a un célébrissime théorème de projection sur un convexe fermé dans les espaces de Hilbert. La démonstration fait appel à la complétude de l'espace. Un sous espace vectoriel de dimension finie étant un convexe fermé on en déduit l'existence et l'unicité de la projection sur un tel sous espace.
Mais en fait ce dernier résultat est purement algébrique et ne nécessite pas la complétude on a juste besoin d'un produit scalaire (structure préhilbertienne)

On dit souvent que l'espace naturel pour représenter l'approximation par des polynomes trigonométriques est l'espace L2 parce qu'il est hilbertien.

On sait que l'espace D des fonctions continues par morceaux (et telles que f(x)=1/2(f(x-)+f(x+)) n'est pas complet pour la norme quadratique et que c'est un espace préhilbertien.
Pourtant le théorème d'approximation (avec projection et donc unicité) par des polynomes trigonométriques de degré n est vrai. En réalité sa démonstration est un résultat purement algébrique comme dit plus haut.


Conclusion:

à l'agreg externe:
si on choisit de travailler dans L2 l'approximation quadratique d'une fonction f par des polynomes trigo (sommes partielles de la série de FOurier associée à f) est un résultat qui paraît $analytique$ (et là le jury nous attend si on parle trop vite)

à l'agreg interne:
l'approximation quadratique d'une fonction f dans D par des polynomes trigo (sommes partielles de la série de FOurier associée à f) est un résultat $algébrique$


Qu'en pensez vous?

Alban

Le théorème de projection est vrai dans un espace préhilbertien dès lors qu'on projette sur une partie convexe et complète.
Je n'ai pas bien saisi la différence...

Alban

De plus $D$ est-il préhilbertien ? La forme bilinéaire $(f,g) \to \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} f(t)\overline{g(t)} dt$ n'y est à priori pas définie...

boukens

projection d'un fonction sur base vectoriel/pour meilleure approximation
choisi est celui de la distance quadratique moyenne est minimale
par E=|| F(x) - f^(x) || / lq dérivée partielle de E par appore à les composante de f(x) sur la base est = 0

GreginUK

Pour Alban: la forme hermitienne considérée est bien définie positive, car on suppose que les éléments de $D$ vérifient $f(x)=1/2(f(x^+)+f(x^-))$ pour tout $x$.