Problème de Riemann

Rouliane

Il y a quelque chose que je ne comprends pas dans le problème de Riemann.

On considère le système $\partial_t u + A \partial_x u = 0$ qui va se ramener à un système de $p$ équations $\partial_t w_i + \lambda_i \partial_x w_i = 0$
( les $\lambda_i $ sont les valeurs propres de la matrice )

Dans le cadre du problème de Riemann, on a $ u_0= \begin{cases} u_g &\textrm{si } x<0 \\ u_d &\textrm{si } x>0 \end{cases}$
On a donc $ w_0=\begin{cases} w_g &\textrm{si } x<0 \\ w_d &\textrm{si } x>0 \end{cases} $ \quad et $ w_i(x,t)=w_i^0(x-\lambda_it)= \begin{cases} w_{ig} &\textrm{si } x< \lambda_it \\ w_{id} &\textrm{si } x>\lambda_it \end{cases}$
Dans mon cours, j'ai alors écrit que :

"Si $ x \le \lambda_1t,\ u(x,t)=\sum w_{ig}r_i=u_g$"
"Si $ x \ge \lambda_pt,\ u(x,t)=\sum w_{id}r_i=u_d$"

C'est ces dernières égalités que je ne comprends pas : pourquoi est-ce égal respectivement à $U_g$ et $U_d$ ?

Concrètement, je ne comprends pas pourquoi $\sum w_{ig}r_i=u_g$ et $\sum w_{id}r_i=u_d$.

Merci.

Remarque0

Fais un dessin de la propagation : $\lambda_1$ est la plus petite valeur propre, $\lambda_p$ la plus grande et ce sont des vitesses de propagation.

Rouliane

oui, ça je vois bien. ( C'est le dessin en éventail avec les droites d'équation $\lambda_i t$ , c'est bien ça ? )

je vois bien aussi pourquoi, si $ x \le \lambda_1t,\; u(x,t)=\sum w_{ig}r_i$

Mais ce que je comprends pas c'est l'égalité $\sum w_{ig}r_i=u_g$
Ce qui me gène c'est que Ug est la valeur de $u_0$ pour x<0, alors qu'on se place ici pour $x \le \lambda_1t$.

Remarque0

Oui, et donc tu as tes $p$ équations de transport scalaires de solution respective $w_i(x,t)=w_i^0(x-\lambda_it)$. Si $x<\lambda_1t$, alors $x<\lambda_i t$ pour tout $i$ (on se place à $t\ge 0$). Tu conclus d'après la forme de $w_i^0$.

Rouliane

ok merci.

Mais l'écriture $ \sum w_{ig}r_i=u_g$, c'est simplement la définition de Ug ?

Rouliane

Pour etre plus précis, je comprends bien que vu qu'on se place pour $x \le \lambda_1t$, on a pour tout i, $w_i^0(x-\lambda_it)=w_{ig}$.
On a donc $u(x,t)=\sum w_i(x,t)r_i=\sum w_i^0(x-\lambda_it)r_i=\sum w_{ig}r_i$. Mais pourquoi ceci est-il égal à Ug ?

Remarque0

Oui, les $r_i$ sont une base de vecteurs propres et on décompose la donnée initiale qui est un vecteur constant en $x$ pour $x<0$ et pour $x>0$ sur cette base. Les $w_{ig}$ sont les composantes de $U_g$ dans cette base.

Rouliane

d'accord, merci beaucoup.

Rouliane

J'ai du mal à comprendre sinon quel est le but de rechercher ce que vaut u dans chaque "secteur" $\lambda_it \le x \le \lambda{i+1}t$.

Apparemment, si j'ai bien suivi, ça va nous servir lors de l'approximation par volumes finis, c'est ça ? ( Je n'ai pas encore abordé cette partie du cours).

Sinon, qu'est ce qui nous invite à choisir $u_0$ constante pour x<0 et x>0 ? Quelle en est la motivation ?

Merci encore

Remarque0

Ici c'est un système linéaire, donc ce n'est pas hyper passionnant. C'est pour les systèmes non linéaires que ça devient plus intéressant : il y a apparition de chocs=discontinuités de première espèce en temps fini. Un problème de Riemann, c'est un problème hyperbolique où la donnée initiale présente un choc et c'est important de comprendre la propagation des chocs pour comprendre comment la solution évolue après apparition d'un choc. En plus ça intervient effectivement dans pas mal de schémas numériques : Glimm, Godounov...

Rouliane

ok, merci, j'imagine que je vais voir ça après.

Sinon, on dit que u est constante sur chaque secteur $ \lambda_it \le x \le \lambda_{i+1}t$, mais elle dépend du temps quand même sur chacun des secteurs ?

Remarque0

Je ne comprends pas bien ce que tu veux dire ?? Les secteurs dépendent du temps. Si tu te place à un certain $x$ fixé et que tu attends, tu va voir passer un certain nombre de chocs aux instants $x/\lambda_i$. Entre ces instants, la solution ne bouge pas.

C'est une fonction constante par morceaux par rapport à $t$ à $x$ fixé (le point de vue de l'observateur assis en $x$ et qui regarde ce qui se passe) et c'est une fonction constante par morceaux par rapport à $x$ à $t$ fixé (le point de vue du'ne photo prise à l'instant $t$)

C'est un peu comme une successions de marches d'escalier qui se déplacent à des vitesses différentes (sauf que c'est vectoriel : il y a une seule marche par composante).

Rouliane

merci, c'est très clair !