Cauchy Schwarz

ned

Salut à tous ! Qui pourrait me démontrer ceci ?
Soit x²+2y²+3z² < 1
Montrer que (x+y+z)²< 11/6

J'ai pensé a l'inégalité de C S mais ne vois pas quel vecteurs prendre
Aidez-moi svp
Merci d'avance !

GERARD

Bonjour.

Géométriquement, on inscrit un ellipsoïde dans une sphère.

Cordialement

ned

Avec Cauchy Schwartz, il y a moyen non ? Ca serait plus de mon niveau.
Aide-moi stp

Reï

Bonjour,

Une indication : tu peux chercher $x_{1},x_{2},x_{3},y_{1},y_{2},y_{3}$ réels tels que :
$$\sum_{i=1}^{3}x_{i}y_{i}=x^{2}+2y^{2}+3z^{2}$$ et ensuite appliquer l'inégalité de Cauuchy-Schwarz (au passage, ne pas confondre Schwarz et Schwartz... le premier était un mathématicien allemand du XIXe, le second un mathématicien français du XXe).

Amicalement.
Olivier.

ned

Je ne comprends pas ce que tu veux dire... Désolé

ned

En vecteurs, si je prends (x²,y²,z²) et (1,2,3), je n'y arrive pas...

aléa

Pour ma part, je ne pense pas à CS: je me dis que si ce qu'on me demande de montrer est vrai, cela signifie que pour tout $(x,y,z)$
$(x+y+z)^2\le \frac{11}6(x^2+2y^2+3z^2)$, ou encore

$11(x^2+2y^2+3z^2)-6(x+y+z)^2\ge 0$

Tout cela me donne une jolie forme quadratique de matrice

\begin{pmatrix}
5 &-6 & -6\\
-6 & 16& -6\\
-6 & -6 & 27
\end{pmatrix}

Edit: bof, bof, bof. En faisant, une erreur, de calcul, c'était plus facile, là on peut essayer de montrer que la matrice est de type positif, mais c'est pas drôle.

ned

j'ai pas encore appris aussi^^

aléa

De toutes façons j'ai merdé mon calcul...

ned

qui peut m'aider avec CS svp?

aléa

Ah, OK j'ai compris: il faut que tu prennes un produit scalaire qui n'est pas le produit scalaire euclidien, mais le produit scalaire pour lequel les points qui vérifient $x^2+2y^2+3z^2<1$ sont dans la boule unité....

ou plus simplement chercher un point dont $x^2+2y^2+3z^2$ est le carré de la norme euclidienne.

EmrK

Bonjour
Il faut bien utiliser CS avec les bons vecteurs. Essai avec
$(x,\sqrt{2}y,\sqrt{3}z)$ et $(1,1/\sqrt{2},1/\sqrt{3})$

ned

ok merci bcp! chaud a trouver les bon vecteurs! j'ai pas encore le reflexe
bonne soirée a tous

ned

c'est bon ca marche!merci bcp^^

GERARD

Bonjour.

J'explicite ma remarque sybilline d'hier (je ne suis pas revenu sur le forum) :
x^2+2y^2+3z^2 = 1 est l'équation d'un ellipsoïde. L'inégalité correspond à son intérieur.
J'ai lu trop vite la deuxième équation en pensant à x² + y² + z², mais l'ellipsoïde donne bien une bonne idée : On veut majorer (ou minorer, mais au signe près de chaque variable on reste dans l'ellipsoïde), la quantité x+y+z.

Sans explication, la technique avec Cauchy_schwarz est de la divination.

Cordialement

lolo345

si possible enlever ce "t" à Schwarz , merci .

GG

bonjour,

je trouve personnellement très joli que Cauchy-Schwarz permette de montrer simplement que

ax² + by² + cz² + ... < 1 => (x + y + z + ...)² < 1/a + 1/b + 1/c + ...
pour a,b,c, ... strictement positifs.

Livré à mes seules ressources, je n'y aurais certainement pas pensé. Quelqu'un voit-il une autre approche "moins subtile" ?

Domi

Bonjour à tous ;

Ce type d'inégalités est d'une grande banalité pour ceux qui s'entraînent aux olympiades . Il suffit de jeter un coup d'oeil aux sites préparant à cette épreuve pour voir que sans bagage conséquent dans ce domaine , on ne va pas bien loin ( voir le cours "inégalités" sur animaths ) .

Personnellement j'ai du mal à percevoir l'intérêt de tout cela mais certains s'en délectent et il en faut pour tous les goûts

Domi

lolo453

Je suis un jour tombé (ouille) sur une publication où en dix pages l'auteur généralisait une notion de théorie des nombres à des corps de nombres.....alors qu'avec Cauchy-Schwarz ça se faisait en 3 lignes ! Bref ça peut servir d'avoir ce réflexe dans les inégalités.

egoroff

En fait JJ il y a une explication géométrique très simple.. GERARD a remarqué qu'il s'agit de maximiser une certaine forme linéaire $\varphi$ (la somme des coordonnées) sur un ellipsoïde $(E)$ d'équation $q(x)-1=0$. Donc ici $\varphi(x)=x_1+\cdots+x_n$et $q(x)=a_1x_1^2+\cdots+a_nx_n^2$ où les $a_i$ sont strictement positifs.

D'une part on sait que les surfaces "iso-$\varphi$" sont des hyperplans affines de vecteur normal $(1,....,1)=u$, d'autre part je sais qu'un vecteur normal à $(E)$ en $p=(p_1,...,p_n)$ est le gradient $\nabla q(p)=2(a_1p_1,...,a_np_n)$. Donc si je cherche un hyperplan iso-$\varphi$ qui soit tangent à $(E)$ je dois trouver un point de contact $p$ pour lequel $\nabla q(p)$ et $u$ sont colinéaires, ce qui donne le système $a_1p_1=a_2p_2=\cdots=a_np_n$ avec la contrainte $q(p)=1$.

Notons $t$ la valeur commune des $a_ip_i$. On a $p_i=t/a_i$ donc $a_ip_i^2=t^2/a_i$ et $q(p)=t^2S$ où $S$ est la somme des $1/a_i$. Donc $t^2S=1$ ce qui donne deux valeurs de $t$ (deux points $p$ antipodaux sur l'ellipsoïde), je choisis la solution positive et je la note encore $t$. Ensuite je me donne une équation de l'hyperplan tangent $H_p=T_p(E)$, le choix évident est $\nabla q(p) \cdot \overrightarrow{px}$, soit quitte à diviser par deux $\sum_{i=1}^n a_ip_i(x_i-p_i)=0$, ou encore $t \varphi(x)=q(p)$ mais comme $q(p)=1$ et $t=1/sqrt{S}$ on obtient pour équation de $H_p$ : $\varphi(x)=\sqrt{S}$. En particulier $\varphi(p)=\sqrt{S}$.

Il est temps de porter l'estocade : en voyant $\varphi$ comme l'altitude, $p$ est le point le plus haut de $(E)$, et donc tout point $x$ de $(E)$ vérifie $\varphi(x) \leq \varphi(p)$ (en d'autres termes $(E)$ est entièrement situé dans le demi-espace situé sous le plan horizontal $H_p$). De même puisque l'antipode $-p$ est le point le plus bas on a $\varphi(x) \geq \varphi(-p)=-\varphi(p)$. Et donc, pour tout $x$ de $(E)$, $\varphi(x)^2 \leq \varphi(p)^2=S$, ce qui est bien le résultat voulu puisque $\varphi(x)^2=(x_1+\cdots+x_n)^2$ et $S=1/a_1+\cdots+1/a_2$.

Bon ce n'est pas super bien rédigé et les puristes me diront sans doute qu'on aurait pu réduire certains passages à coups d'extrema liés ou de multiplicateurs de Lagrange, mais bon il est tard et j'ai voulu rester simple et géométrique.

gilles benson

nocturne et tardif mais sympa

GG

merci egoroff !