raréfaction des nombres premiers

borde

Bonjour,

Comme il y a longtemps que je ne l'avais pas fait, je propose un petit exercice (de théorie analytique des nombres) montrant "concrètement" le phénomène de raréfaction des nombres premiers. Une solution possible passe par l'utilisation d'une forme du TNP (voir indication ci-dessous) :


{\bf Exercice}. Soit $x$ un réel suffisamment grand. Montrer que l'intervalle $]x,2x]$ contient moins de nombres premiers que l'intervalle $]0,x]$.


{\it Ind} : utiliser le TNP sous la forme $\pi(x) = \frac {x}{\ln x} + \frac {x}{(\ln x)^2} + O \left ( \frac {x}{(\ln x)^3} \right )$ pour estimer $\pi(2x) - 2 \pi(x)$.


Borde.

Yersinia Pestis

La formule permet-elle de voir ce qu'il en est pour le nombre de postes proposés au CAPES???

bon... elle est nulle...


Emmanuel

Anselme-Olivier

Joli exercice...

(Oui, comme tu l'indiques, faut $x$ assez grand pour contrôler le signe de $\pi(2x) - 2 \pi(x)$).

C'est un grand charme de la Théorie des Nombres de proposer des énoncés de problèmes aussi limpides!

Cordialement,

Anselme-Olivier.

borde

A titre d'info, on peut voir que $x \geqslant e^{C/\ln 4}$, où $C > 0$ est une constante effectivement calculable.

Je donnerai une solution (ce soir ou demain), peut-être sous forme d'un pdf, de cet exo qui a son petit charme, en effet !

Borde.

Airy

bonjour,

Une autre façon (plus simple?) de voir la raréfaction des nombres premiers est de voir que l'on peut construire des suites d'entiers consécutifs sans nombres premiers aussi longue que l'on veut par n!+2;n!+3;...;n!+n.

Sauf erreur.

borde

L'existence de telles suites ne permet pas de "mesurer" la raréfaction des nombres premiers.

Bien sûr, on touche là à la définition du mot "raréfaction" : je crois qu'il faut la voir en terme de densité (naturelle) de l'ensemble des nombres premiers, et de la comprendre comme le fait que cette densité tend vers $0$ lorsque $x \rightarrow \infty$, autrement dit : $$\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\pi(x)}{x} = 0,$$ qui est une conséquence des inégalités de Tchebichef.

Cet exercice, sans prétention, n'avait pour but que de "faire voir" cet aspect de la densité des nombres premiers dans l'ensemble des entiers naturels.

Mais cela ne renie en rien la pertinence de ta remarque.

Borde.

borde

Voici un document qui propose une solution...Si vous avez des commentaires (comme Airy ci-dessus), d'autres solutions à proposer, etc. Le débat est ouvert.

Borde.

blue_matematics

Bonjour,

Le résultat est interressant. J'aurais une question justement à ce propos : Tchebitchev avait démontré que si la fonction $\frac{\pi(x) \ln(x)}{x}$ admet une limite en $+ \infty$, alors cette limite vaut obligatoirement 1. J'aimerais savoir si cette démonstration est abordable sans analyse complexe ou pas.

Merci d'avance

borde

Bonjour blue_matematics,

En effet, il n'y a pas besoin d'analyse complexe pour ce résultat. D'une manière générale, les résultats obtenus par Tchebichef ont été démontrés vers 1852 par des méthodes dites "élémentaires" (ie. sans utiliser la variable complexe).

On trouve une preuve de ce résultat dans le livre de Tenenbaum, {\it Introduction à la théorie analytique et probabiliste des nombres}, SMF (1995), th. 12 page 19.

Borde.

blue_matematics

Je te remercie pour ta réponse rapide. J'essaierai de me procurer ce livre, je suis vraiment tres curieux de savoir comment il a démontré ce résultat.

Mais alors il y a une autre question que je me pose : pourquoi ne pas démontrer le théorème des nombres premiers en utilisant uniquement les inégalités de Tchébitchev et ce résultat, je m'explique. Sur un autre post tres ancien tu avais démontré une inégalité due à Tchebitchev qui était la suivante : $(\ln(2)+o(1))\frac{n}{\ln(n)} \leq \pi(n) \leq 6 \ln(2) \frac{n}{\ln(n)}$. Ceci nous démontre que la suite $(\frac{\pi(n) \ln(n)}{n})$ est bornée. On utilise le résultat suivant : une suite $(u_n)$ converge vers $l$ si et seulement si tout sous-suite de $(u_n)$ admet une sous-suite convergeant vers $l$.

Donc on se donne une sous-suite $(u_{n_k})$ de la suite $(u_n)$ définie par $u_n=\frac{\pi(n) \ln(n)}{n}$. Cette suite $(u_{n_k})$ est bornée donc elle admet une sous-suite convergeante vers $l$. Or d'apres le résultat de Tchebitchev, $l=1$, ce qui permet d'obtenir $\lim_{n \rightarrow + \infty} u_n=1$. Si cette démonstration n'a pas été donnée c'est qu'elle doit comporter une erreur mais je n'arrive pas à voir laquelle.

Merci d'avance si tu peux m'aider.

Longjing

Merci Olivier pour un sujet très intéressant qui me réconcilie un peu avec le forum.
Par les temps qui courent, cela a le mérite d'être souligné.

borde

De rien, Jean-Jacques ! Et puis, à mon avis, il ne faut pas trop faire attention à certains sujets hors-maths...A bientôt !

Dis donc, blue, est-ce correct, ce truc que tu utilises : {\it une suite converge vers $l$ si et seulement si toute sous-suite de $(u_n)$ admet une sous-suite convergeant vers $l$} (la condition suffisante, surtout) ?

Borde.

chris

Bonjour Borde.
1852 ou 1952 pour les preuves "élémentaires"??

KB0

Bonjour Maître Borde.

Je me permets de démarrer un fil en analyse sur ta remarque envers Blue Maths, que je salue.

"Une suite Un converge vers L si et seulement si toute sous-suite de Un admet une sous-suite convergeant vers L."

Salutations très respectueuses.

KB0

MT-I vient de répondre brillamment et ... affirmativement !
(cf catégorie analyse)

borde

Salut Chris,

Je parlais des démonstrations de Tchebichef, qui n'utilisent pas la variable complexe (donc dites élémentaires), et qui datent (à 1 ou 2 années près, Brux ou Bob devraient confirmer, s'ils nous lisent) effectivement de 1852.

A ne pas confondre avec une preuve élémentaire du TNP (Erdös et Selberg) qui, elle, date de 1949.

Salut KB,

OK, j'ai pris note, je vais aller voir ça !

Borde.

skilveg

blue_matematics Écrivait:

---

> Cette suite $(u_{n_k})$ est bornée
> donc elle admet une sous-suite convergeant vers
> $\ell$. Or {\bf d'après le résultat de Tchebitchev}, $\ell=1$ [...]

Je crois que c'est là que ta démonstration pose problème: ledit résultat a pour hypothèse que $\frac{\pi(n)\ln n}{n}$ converge...

Amicalement

Aldo0

Bonjour,

je me demandais si on peut faire une généralisation du genre :

- l'intervalle ]x,3x] contient moins de nombres premiers que ]0,x] pour x assez grand,

- pour tout n, il existe x à partir duquel l'intervalle ]x,nx] contient moins de nombres premiers que ]0,x].

ça a l'air vrai mais ce n'est peut-être pas très utile. C'est juste pour en rajouter un peu sur la raréfaction.

Aldo

borde

Salut Aldo,

Toute intervention d'ordre mathématique est, par les temps qui courent actuellement ici, la bienvenue, et, à vrai dire, cet exo assez original, mais peu difficile (avec l'indication) est plutôt fait pour ça !

Pour répondre à la question, je pense que tu pourrais développer $\pi(nx) - 2 \pi(x)$ de la même manière que ce qui a été fait pour $n=2$ ci-dessus.

Salut Skilveg,

Je suis d'accord avec toi : au stade du raisonnement évoqué par Blue_mathematics, on ne sait pas si $l=1$ à ce moment-là : comme tu le dis, Tchebichef implique que, si la suite $\left (\frac{\pi(n)\ln n}{n} \right )$ converge, alors la limite vaut $1$.

Dans le même genre d'esprit que l'idée de Blue, il y a ce petit lemme : {\it si $(u_n)$ est une suite réelle bornée telle que toute sous-suite convergente de $(u_n)$ tend vers la} {\bf même} {\it limite $L$, alors $(u_n)$ converge vers $L$}.

Là aussi, le raisonnement ne peut s'appliquer puisque l'on ne dispose pas de connaissance suffisante pour affirmer que toute sous-suite convergente de la suite $\left (\frac{\pi(n)\ln n}{n} \right )$ converge vers la {\bf même} limite.

Je trouve néanmoins les idées développées ici par les uns et les autres très intéressantes...

Je tenais également à remercier tous les intervenants ci-dessus pour avoir fait vivre ce sujet jusqu'ici !

Borde.

skilveg

> Aldo: en fait, sauf erreur de ma part, $2$ est la "meilleure" valeur possible: en effet
\[\frac{\pi(ax)-2\pi(x)}{x}=\frac{a-2}{\ln x}-\frac{2+a\ln a}{\ln^2 x}+O\left(\frac{1}{\ln^3 x}\right)\]
et donc, dès que $a>2$, il y aura asymptotiquement plus de nombres premiers dans $]x,ax]$ que dans $]0,x]$.

Amicalement

Aldo0

Comme quoi j'étais bien à côté de la plaque !

Ceci dit, je trouve ce résultat fascinant (que 2 soit la "meilleure" valeur).

Bonne soirée.

Aldo.

borde

Remarque néanmoins qu'intuitivement, les intervalles $]0,x]$ et $]x,ax]$ n'ont la même longueur que pour $a=2$. C'est d'ailleurs le plus souvent des intervalles de même longueur que l'on compare.

Mais la question méritait d'être posée.

Borde.

Aldo0

Bonsoir à tous,

>Borde :

je me permets d'insister un peu. C'est en fait le mot raréfaction qui me pose problème d'autant que tu dis toi-même qu'il s'agit de faire voir la densité des nombres premiers qui tend vers zéro.

Or, je trouve que ce résultat n'illustre rien de tel puisqu'on peut l'obtenir avec un tas de suites de nombres autres que les nombres premiers et ne présentant aucune raréfaction.

(par exemple l'ensemble E = {1, 2, 3} Union "l'ensemble des nombres non multiples de 5" a une densité qui doit tendre vers 80% si je ne me suis pas trompé et E vérifie la même propriété sur les intervalles ]0, x] et ]x, 2x]).

D'où ma tentative "d'agrandir" le deuxième intervalle en remplaçant 2x par ax pour faire apparaître une véritable raréfaction.

Mais le calcul de Skilveg montre le résultat contraire dès que a>2 !

D'où ma fascination puisqu'en voulant faire apparaître la raréfaction en question, il s'avère impossible de lui voir ne serait-ce que le bout du nez !

Bon, j'ai peut-être dit beaucoup de bétises...

Bonne soirée.

Aldo

titou2

salut,
peux tu m'aider à me procurer des notes de cours d'algébre fondamentale en théorie des nombres enseignee en licence.
mercie

lg0

trés bonne remarque d'ALDO,
qu'en est il réelement de la raréfaction des nombres premiers ,
du fait aussi que par rapport à 0, la courbe des nombres premiers est "oscillatoire" lorsque n tend vers l'infinie.

par oscillatoire je veux dire + ou -

borde

Bonjour à Aldo et lg,

Aldo, je ne cherche pas à contrer ce que tu dis, mais on est là plus dans une histoire d'interprétation du mot raréfaction.

Cet exercice illustre que, pour des intervalles de longueurs égales, le nombre de nombres premiers diminue à mesure que les bornes grandissent (nous sommes bien sûr dans les "grands nombres").

Je trouve que ce phénomène, seul, rend bien compte d'un phénomène de raréfaction, au sens commun du terme.

Non ?

Titou : à qui s'adresse ta question ?

Borde.

Aldo0

Bonjour,

> Borde,

c'est bien sur la signification de l'exercice et non l'interprétation du mot raréfaction que je ne suis pas d'accord.

Ce contre exemple est frappant : Soit U le complémentaire dans N des nombres de la forme 7n avec n entier supérieur ou égal à 2. C'est à dire U={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 etc. en sautant 14, 21, , etc.}

U vérifie bien la propriété de l'exercice : pour tout x, il y moins d'éléments de U dans ]x, 2x] que dans ]0, x]. Et pourtant, il n'y a aucune raréfaction de U dans N, sa densité étant 0,9.

Pour montrer une raréfaction à partir de comparaison d'intervalles, je ne vois que deux manières :

1°) On considère un intervalle de longueur I qu'on déplace de gauche à droite "sur N" (des petits nombres vers les grands). Il faudrait montrer qu'un intervalle situé à droite contiendrait toujours plus de nombres premiers qu'un autre plus à gauche. Mais je pense que ce n'est pas le cas, c'est uniquement la probabilité de trouver un nombre premier dans celui de droite qui est inférieure.

2°) Comparer des intervalles de tailles différentes. C'est ce que j'essayais en remplaçant l'intervalle ]x, 2x] par ]x, ax] avec a>2 mais c'était trop brutal et la propriété s'inversait.

Par contre, il me semble que tout se passe bien avec un agrandissement plus "doux" consistant à remplacer 2x par 2x+h, ce qui donne l'énoncé suivant :

Quel que soit h, à partir d'un x suffisamment grand, il y aura toujours moins de nombres premiers dans ]x, 2x + h] que dans ]0, x].

Cette fois, ça me semble correct.

Bonne soirée à tous

Aldo.

borde

Oui, mais je trouve que cet exemple n'est pas aussi frappant que cela puisque, sauf erreur : $$\left |U \cap ]0,x] \right |- 3 \leqslant \left |U \cap ]x,2x] \right | \leqslant \left |U \cap ]0,x] \right |- 1,$$ de sorte que, pour $x$ suffisamment grand, on a : $$\left |U \cap ]x,2x] \right | \asymp \left |U \cap ]0,x] \right |.$$

Il me semble aussi qu'il vaut mieux éviter de parler de "probabilité" en ce qui concerne les entiers, mais bien de rester sur le langage des densités.

D'autre part, je ne suis pas bien sûr de bien saisir la fin de ton message. $x$ dépend-il de $h$ ? Si oui, supposons que $x=o(h)$ (ce qui est possible, si je comprends bien l'énoncé). On aurait alors : $$\pi(2x+h) - \pi(x) = \frac {2x+h}{\ln (2x+h)} - \frac {x}{\ln x} + O \left ( \frac {h}{(\ln x)^2} \right ) \geqslant \frac {h}{\ln h} + \frac {x}{\ln x} + O \left ( \frac {h}{(\ln x)^2} \right ) \geqslant \pi(x)$$ si $h$ est très grand devant $x$.

Non ?

Borde.

Aldo0

Bonsoir,

en effet, ma formulation n'est pas très claire. Voici donc l'énoncé précis :

Quel que soit h réel positif, il existe r réel positif tel que : si x est un réel supérieur à r, alors l'intervalle ]x,2x+h] contient moins de nombres premiers que l'intervalle ]0, x].

Donc, bien entendu, ce réel r dépend de h et x étant supérieur à r, il n'y a aucun risque que h soit grand devant x (c'est même plutôt le contraire).

Aldo.

lg0

bonjour borde, aldo

j'ai une petite question justement sur cette densité de nombres premiers
est on sur: que dans un intervalle de 100 nombres on ne risque pas de retrouver 23 nombre premiers ? exemple:

F.1 ; F.2 ; F.3 ; F.4 ; F.5 ; F.6 ; F.7 ; F.8

1 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ; 29
31 ; 37 ; 41 ; 43 ; 47 ;49; 53 ; 59
61 ; 67 ; 71 ; 73 ;77; 79 ; 83 ; 89
91 97 101 103 107 109 113 119

ou plus exactement dans cet ensemble modulo 30 , 23 premiers sur 26 nombres

Aldo0

Bonjour

lg,

j'avoue ne rien comprendre à ton tableau, si tu pouvais expliciter... Merci.

Aldo

Sylvain

Je crois que lg considère tous les premiers inférieurs ou égaux à 31 premiers avec 30, dont il prend les restes de la division par 30 qu'il réordonne puis ajoute 30 à chaque terme de la liste ainsi constituée à chaque nouvelle ligne.

lg0

bonjour
excusez moi Aldo de ne pas avoir répondu à votre question,
Sylvain l'a fait et merci

pour être plus précis,
on se place dans Z/30Z
ce qui représente le tableau, si on prend un nombre quelconque dans cet ensemble
congru p[30], il est soit premier soit mutliple de nombres premiers appartenant à cet ensemble.

cet algorithme P[30] va extraire les premiers de ces 8 familles avec 8 groupes multiplicatifs constitué uniquement avec les 8 premiers <=31 !
donc évidément sont exclu les multiple de 2,3 et 5!

Des lors, cet algorithme va marquer les entiers composés appartenant àcet classe.("comme le ferait le crible d'érathostène")

il ne reste alors que des cellules vides qui sont par obligation des nombre premiers!

ilest évident que plus on tend vers l'infini, plus on marque des celleules composées,Mais si les nombres premiers continuer à se raréfiés qui marquerait les nouvelles céllules ? paradoxe: moins il y aurra de nombres premiers ,moins il y aurra de nouvelle s cellule marquées donc résultat inverse les nombres premiers réaugmente!

exemple,Famille 17 modulo 30 = 17[30]
paramètreavec les 4 couples; 7 et 11; 13 et 29 ;19*23 ; 17*31 étant donné que 1 ne peut paramétrer l'algorithme il est remplacer par 31.
en effet:
17*1, n'est clairement pas composé

et on réitère en augmentant chaque conjoint de 30 ex:
7*11,7*41,7*71 inversement 11*37,11*67,11*97 ..etc

7 va parcourrir la famille 11[30] et inversement 11 va parcourrir la famille 7[30]...à l'infini. idem avec les trois autres couples.

Toutes les cellules = 0 = vident, sont premières!

0..1..2...3.4.5.6.7..etc
17 o 7*11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 13*29 0 19*23 0 0 17*31 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

ensuite, on marque 1 toutes les P cellules, exemple avec P =7

17 o 7*11 0 0 0 0 0 0 1 0 0 13*29 0 19*23 0 1, 17*31 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1

la 9ème cellule = 7*41 = 287 et (287 - 17)/30 = 9

et on réitère avec 11 puis: p + 30k avec (p + 30k) premier! si il est composé, il est supprimé bien entendu.il n'y a que deux cas possibles!

la céllule première et noté zéro car < 30 et elle représente le premier, soit 17 pour cette famille 17[30] appartenant à Z/30Z

voila l'explication de ma question, du 06.sept

prenons un exemple ;
limite A, tous les premiers < a A, nous donnent un produit qui va se placer à limite B dans une des 8 familles p(30)!

seul les premiers entre A et B vont marquer des cellules apres limite B; mais avec un grand écart, puisque ces nombres P sont trés superieur à ceux de lim.A

donc en partant de limite B, les cellules marquées aurront le mmême écart, qu'au début de l'algorithme avec quelque cellules suplémentaires, marquées par des facteurs P compris entre A et B.

moralité il ne peut y avoir raréfaction donc une densité qui réaugmente..non?

Algibri

Et si on reprenait l'étude de la densité des nombres premiers en travaillant sur phi(2^k) je pense qu'il existe une fonction plus précise à faire ressortir.
Une simple suggestion d'un amateur....

Le nombre de premiers avant 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512 etc....

J'avais observé une relation en travaillant sur un tableur qui me donnait avec exactitude le nombre jusqu'à 2048.

Ps : je crois que je vais reprendre ce travail juste pour vous convaincre que quelque chose se cache dans cette "nouvelle" perspective.

Algibri

Je donne le tableau qui précise le nombre de premiers inférieurs à 2^k
À gauche le nombre de premiers et à droite 2^k avec k variant de 1 à 17.

1	2
2	4
4	8
6	16
11	32
18	64
31	128
54	256
97	512
175	1024
309	2048
564	4096
1029	8192
1900	16384
3512	32768
6542	65536
12251	131072

Si vous observez bien la structure du nombre de premiers elle est très proche de celle des 2^k à un décalage près dans le sens vertical.
En décalant de 1 verticalement et en soustrayant on obtient une autre séquence

0
0
2
5
14
33
74
159
337
715
1484
3067
6292
12872

En continuant la procédure décalant de 2 verticalement on obtient

0
1
6
17
42
95
209
459
972
2043
4244
8776

et de proche en proche on observe des irrégularités qui peuvent s'expliquer par l'action d'une autre fonction un peu comme si chaque ligne était un développement polynomial où le degré est fonction de k.

J'avais fait des ajustements avec des carrés mais je n'arrive pas à me souvenir. C'était il y a 2 ans.

Peut-être que quelqu'un de chevronné pourrait-il y déceler quelque secret.
Je compte sur votre jeunesse pour m'éclairer.