R^n présenté comme quotient de groupe libre [Groupes]

Eric Chopin

Bonsoir,

J'ai lu quelque part que tout groupe G peut etre présenté (pas représenté...)
comme un quotien $F/N$ avec F groupe libre (F peut alors etre vu comme
une extension du groupe G par N) et N sous groupe normal.
J'aimerais bien avoir un exemple d'une telle présentation pour
un groupe additif $R^n$ (espace vectoriel reel de dim $n$).
Il y a bien des exemples sur wikipedia mais justement pas pour ce
type de groupe ... et j'aimerais bien avoir une définition un peu précise
pour F et N dans ce cas...

C'est peut-etre quelque chose de simple mais jamais été très copain avec
les groupes libres (ici je ne parle pas bien sûr de groupe abelien libre).

Merci d'avance,

A+

Eric

Toto.le.zero

Pense à quel alphabet tu prends pour le groupe libre

mt-i

$\R$ (ou $\R^n$, c'est pareil), c'est un $\Q$-espace vectoriel de dimension $2^{\aleph_0}$. Donc pour donner une présentation de $\R$, il suffit d'en donner une de $\Q$ et de prendre la somme (i.e. le produit libre abélianisé, si l'on tient à regarder des groupes non-commutatifs, mais c'est un peu idiot en l'occurrence).

Et une présentation de $\Q$ (disons comme groupe abélien, pour éviter de s'embêter avec les relations de commutation), ce n'est pas trop dur à écrire: on peut par exemple prendre les $1/n$ comme générateurs, avec pour relations les $m'/m-n'/n = 0$ avec $m = m'\mathop{\rm pgcd}(m,n)$ et pareil pour $n'$ je pense.

michel coste0

Bonjour,

Il me semble que tout groupe $G$ est quotient du groupe libre engendré par l'ensemble sous-jacent à $G$. Bien sûr, ce n'est pas très économique....
La surjection canonique envoie un élément du groupe libre (un mot sur l'alphabet des $g$ et $g^{-1}$ pour $g\in G$, sans occurrence de $gg^{-1}$ ou $g^{-1}g$), sur l'élément de $G$ obtenu en "calculant le mot" dans $G$.

Cordialement,

M.C.

Eric Chopin

Merci a tous,

Pour Michel, j'avais effectivement lu que pour F on pouvait prendre
le groupe libre engendré par G lui meme mais j'avais un peu de mal
a identifier N dans ce cas. C'est d'ailleurs plutot dans cette voie
que je cherche par rapport a la solution de mt-i car mon probleme de
base est d'expliciter une formule de cohomologie des groupes dans le
cas $R^n$ et j'aimerais autant éviter de passer par Q.
En l'occurence il s'agit de $H^{k+2}(G,K)\equiv H^k(G, Hom(N,K))$
avec $H^k$ k-ieme groupe de cohomologie de $G = R^n = F/N$
(ici je prend $K=(R,+)$ avec une action triviale de $G$ sur $K$).

A+

eric

mt-i

Le but est de calculer quoi, en définitive? Parce que je soupçonne que passer par une présentation du groupe additif R pour y arriver est terriblement sous-optimale.

Eric Chopin

En l'occurence ici il s'agit surtout de determiner un ou plusieurs N,
et donc le(s) groupe(s) Hom(N,k) correspondant(s),
pour expliciter des cocycles d'ordres k a valeur dans R comme cocycles
d'ordre k-2 a coeff dans un autre groupe (de fonctions).

A+

eric