Eléments finis P²

Rouliane

Bonsoir,

J'ai un petit souçi dans la compréhension de la démonstration de l'unisolvance de l'élément fini triangulaire (T,P(T), $\sum$(T)) où :

1. T= Triangle $A^{(1)}A^{(2)}A^{(3)}$

2. P(T)=P²

3. $\sum$(T)=$\{ p(A^{(i)}),p(A^{(i,i_+)}), i \in \{1,...,3\} \}$

où on note $A^{(i,i_+)}$ le milieu du segment $A^{(i)}A^{(i_+)}$


Pour montrer que cet élément est unisolvant ( il peut l'être a priori parce que la dimension de P² est la même que le nombre de degrés de libertés ), il va falloir trouver une base de P², autrement dit :

1°) Trois polynomes $p^{(i)}$ tels que $p^{(i)}(A^{(j)})=\delta_{ij}$ et $p^{(i)}(A^{(j,j_+)})=0$ pour tout j.
2°)Trois polynomes $p^{(i,i_+)}$ tels que $p^{(i,i+)}(A^{(j,j_+)})=\delta_{ij}$ et $p^{(i,i_+)}(A^{(j)})=0$ pour tout j.

Juque là ça va, c'est toujours le même principe.
Le problème vient quand on veut expliciter les polynomes $p^{(i)}$. L'auteur dit :
" Si ce polynome existe, il est identiquement nul sur la droite $A^{(i_+)}A^{(i,i_+)}$ car c'est un polynome qui ne dépend que d'une variable ( l'abscisse curviligne le long de cette droite ), qui est de degré 2, et qui s'annule en 3 points distincts $A^{(i)}$, $A^{(i_+)}$ et $A^{(i,i_+)}$ "

--> Je ne comprends pas ce que va etre l'abscisse curviligne ici. Je connaissais ce terme pour des courbes paramétrées, mais là je vois pas trop ce que c'est. Ca me parait étrange de passer par ça, d'autant que sur la droite le polynome dépend des 2 variables x1 et x2. Bref, je saisi pas du tout la subtilité.

Ensuite, il y a plusieurs calculs, qui aboutissent à :

1) $p^{(i)}(x)=\lambda_i(\lambda_i-\lambda_{i_+}-\lambda_{i_{++}}) $

2) $p^{(i,i_+)}(x)=4 \lambda_{i}\lambda_{i_+}$

où les $\lambda_{i}$ sont les coordonnées barycentriques, mais n'y aurait-il pas une erreur dans l'expression de $p^{(i,i_+)}(x)$ ? En effet, ce polynome s'annule bien en $A^{(i)}$, $A^{(i_+)}$ et $A^{(i_{++})}$ mais je vois pas en quoi il vaut 1 en $A^{(i,i_+)}$ ?

Merci d'avance

Rouliane

Pour ma dernière question, vu que $A^{(i,i_+)}$ est le milieu de $A^{(i)}A^{(i_+)}$, on a $\displaystyle \lambda_i(A^{(i,i_+)})=\lambda_{i_+}(A^{(i,i_+)})=\frac{1}{2}$ ?

Remarque0

Bonsoir,

Et bien, on ne t'arrête plus sur les éléments finis !

Rouliane a écrit:

Je ne comprends pas ce que va etre l'abscisse curviligne ici. Je connaissais ce terme pour des courbes paramétrées, mais là je vois pas trop ce que c'est. Ca me parait étrange de passer par ça, d'autant que sur la droite le polynome dépend des 2 variables x1 et x2. Bref, je saisi pas du tout la subtilité.

Je pense qu'il s'agit simplement de paramétrer le segment en question de façon affine. x₁ et x₂ sont des fonctions affine d'un paramètre t, donc ton polynôme sur ce segment s'exprime comme un polynôme du second degré en t. Il s'annule en trois points, donc il est nul.

Pour ta deuxième question, la réponse que tu y as apporté est juste.

Rouliane

ah remarque, mon sauveur !

J'avais encore jamais employé ce type de paramétrage, c'est bon à savoir.

Et oui, toujours les éléments finis, comme j'ai pas fait de master et que j'intègre un master 2, faut que je rattrape mon retard

Merci en tout cas

Rouliane

Je vais profiter de ce fil pour poser une question relative à une démonstration pour un élément fini P1.

On veut montrer que les fonctions P1 par morceaux sont continues sur l'adhérence de omega. Pour celà, il faut montrer qu'elles sont continues à l'interface [AB] entre 2 triangles $T_k$ et $T_k_'$.

Si on note v la restriction de $v_h$ à $T_k$ et v' la restriction de $v_h$ à $T_k_'$ on a , par construction :

$(v-v')(A)=0$ et $(v-v')(B)=0$

On va vouloir montrer que pour tout point M de [AB] on a (v-v')(M)=0.

Soit M un point quelconque de ce segment. Alors il s'écrit : $M=\lambda A+(1-\lambda)B$.
$\textbf{Or la restriction de v-v' au segment [AB] est une fonction affine, de sorte que }$: $(v-v')(M)=\lambda (v-v')(A)+(1-\lambda)(v-v')(B)=0$ (**)

C'est ce qu'il y a en gras que je ne comprends pas : en quoi la restriction de v-v' au segment [AB] est-elle une fonction affine ? C'est un polynome de degré 1 par rapport à l'ensemble des variables.

et ne faudrait-il pas plutot un critère de linéarité pour écrire l'égalité (**) ?

Merci .

Remarque0

Et bien c'est exactement le même truc que précédemment : si tu paramétrise le segment de façon affine avec ce $\lambda$, ton polynôme de degré (au plus) 1 en deux variables devient par substitution un polynôme de degré (au plus) 1 en la variable $\lambda$. Il s'annule en deux points, donc il est nul sur le segment.

Rouliane

ok, merci.

Mais ici, j'ai l'impression que ça n'est pas vraiment l'argument utilisé : l'égalité (**) laisse à penser qu'on utilise un critère de linéarité, non ?
sinon quelle utilité de s'embeter à donner l'écriture de M sur le segment [AB], etc ?

Remarque0

Non, ce n'est pas de la linéarité. C'est un paramétrage affine, convexe si tu préfères puisqu'on se restreint au segment.

Rouliane

Merci