rendre rationnel des racines

Yersinia Pestis

Bonjour

Je sèche lamentablement sur deux petits exos :

1°) Montrer que $C=\sqrt{33+20\sqrt{2}}+\sqrt{17-12\sqrt{2}}$ est un nombre rationnel.

2°) Rendre rationnel le dénominateur de la fraction : $1/(\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{2})$
on pourra se servir de $a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$

Auriez-vous des idées ?
D'avance merci.
A+
Emmanuel

Reï

Bonsoir,

Pour la première question, il me semble que $C$ tel que tu l'as défini n'est pas rationnel. Sauf erreur de ma part, c'est $\sqrt{33-20\sqrt{2}}-\sqrt{17-12\sqrt{2}}$ qui est rationnel.
Pour montrer cela, tu peux chercher $a,b,c,d$ entiers tels que $\sqrt{33-20\sqrt{2}}=a+b\sqrt{2}$ et $\sqrt{17-12\sqrt{2}}=c+d\sqrt{2}$.

Amicalement.
Olivier.

Reï

Et pour la deuxième question, il suffit de poser $a=^{3}\sqrt{4}$, $b=^{3}\sqrt{2}$ et d'écrire :
$$\frac{1}{^{3}\sqrt{4}-^{3}\sqrt{2}}=\frac{1}{a-b}
=\frac{a^{2}+ab+b^{2}}{a^{3}-b^{3}}$$ et le tour est joué car $a^{3}-b^{3}=4-2=2$ est entier, donc rationnel.

Olivier.

Yersinia Pestis

Bonjour,

merci de ton aide Olivier.

Pour le 2°) ... pfff... j'ai vraiment le nez complètement dans le guidon, ou alors c'est le temps qui me détraque les neurones, ou alors je suis vraiment un peu crétin...

Pour le 1°)
les deux écritures donnent des rationnels : dans ton cas : 2, dans le mien : 8.
j'ai trouvé :
a=5 b=2 c=3 et d=2 (pour mon écriture)
a=5 b=-2 c=3 et d=2 (pour ton écriture)

et ça marche...

A+

Emmanuel

KB0

Bonjour, chers Emmanuel et Olivier.

J'ai trouve votre échange passionnant.

Le premier exercice que tu proposes, cher Emmanuel, est vraiment captivant.
Et la solution donnée par toi, cher Olivier, est d'une belle élégance.

Par contre j'ai une petite question : comment peut-on avoir l'idée de voir que 33 + 20Rac(2) et 17 - 12Rac(2) sont deux carrés dans Q(Rac(2)) ?
Est-ce une intuition, une astuce ?

Il est vrai que cela marche ici.
Mais peut-on imaginer que la somme de deux racines carrées de deux éléments de Q(Rac(2)) puisse donner un rationnel SANS que ces éléments de Q(Rac(2)) ne soient des carrés dans Q(Rac(2)) ?

Et comment faire alors dans ce cas ? A moins que ce cas ne soit impossible et alors pourquoi ?

Je vous remercie de votre bienveillante attention.

Très cordialement.

le barbant raseur

KB a écrit:

Et comment faire alors dans ce cas ?

Tu peux essayer de trouver le poynôme minimal de ton gars (faut quand même faire attention à voir si ton bonhomme n'est pas nul) et voir ce que tu peux dire avec (toutes ses racines sont rationnelles, la racine cherchée, identifiée par approximations, est rationnelle, etc). Mais c'est la même idée.

KB a écrit:

A moins que ce cas ne soit impossible et alors pourquoi ?

Bonne question. Il y a le cas pathologique où le nombre est nul et la méthode ci-dessus n'est pas efficace.
Sorti de là, ça ne m'a pas l'air possible, mais je ne vois pas pourquoi...

GERARD à la maison

Bonjour KB.

Dans les années 50-60, la "trinômite" s'était emparée de l'enseignement secondaire, et on voyait une méthode générale pour montrer que $a + b \sqrt{c}$ est un carré d'expression de la forme $e + f \sqrt{c}$ (a, b,c, e et f sont des entiers) par une identification non justifiée.
Ceci est une quasi évidence quand on regarde les carrés de telles expressions.

Cordialement

le barbant raseur

Gerard,


Peux-tu préciser ta réponse ?
Veux-tu dire qu'on a enseigné que le corps $\Q[\sqrt{2}]$ était stable par extraction de racine carrée (alors que c'est clairement faux) ?


J'étais un peu déçu de moi en partant au travail ce matin car je n'avais pas su répondre à la question de KB
(soient $a,b,c,d$ des rationnels, $\sqrt{a+b\sqrt{2}}+\sqrt{c+d\sqrt{2}} \in \Q$ implique-il $a+b\sqrt{2}$ est un carré dans $\Q[sqrt{2}]$ ?)
qui me semblait "simple", mais après y voir réfléchi, elle m'apparaît au contraire assez compliquée et je n'entrevois aucune piste d'attaque. Est-ce un résultat connu (ou sa négation l'est-elle) ? As-tu des pistes de réflexion à ce sujet ?

KB0

Chers Barbant et Gérard, ce que vous dites est très intéressant.

Tout d'abord, cher Barbant, j'ai évidemment cherché un polynôme ANNULATEUR, sans prétendre s'il est minimal ou non.
Un raisonnement a priori mène à un polynôme de degré 8 dont je n'ai clairement pas su me dépatouiller (faut-il que je m'abonne à maple ou autre ?).

Pour faire tomber le degré, il faut justement quelques conditions nécessaires comme celle que tu évoques.
On rentre dans de la théorie des extensions de corps, qui remonte à très loin pour moi.

Cher Gérard, tu fournis une explication historique très intéressante.
En fait, ce genre d'exercices était dans "l'air du temps".
Les élèves cherchaient spontanément s'ils avaient affaire à des carrés de Q(Rac(2)).

Bref, le dossier est lancé...
Très cordialement.

Yersinia Pestis

Bonjour,

Quelques précisions :
a) Cet exo est tiré de "{\it Arithmétique, Algèbre et Cinématique, classe de Math. élem.}" par R. Poix, P. Bresle et P. Hamon chez Bordas Programme de 1962.
b) Il est précisé (je ne l'avais pas mis initialement car ça me semblait peu important) : "On rappelle que $\sqrt{a\sqrt{b}}$, où $a$ et $b$ sont des entiers, pourra être remplacé par une expression ne contenant plus de radicaux superposés si $ a^{2}-b$ est un carré parfait".
Donc ni intuition, ni astuce...

Pour le reste, mon niveau ne me permet nullement de vous aider...
A+
Emmanuel

[Pour 1 \$ de plus AD]

KB0

Merci beaucoup, cher Emmanuel.

Cela va donc dans ton sens, cher Gérard.
Il s'agit d'exercices qui furent classiques à une époque.

Cela répond aussi à ton interrogation, cher Barbant.
On donnait le critère pour que a + Rac(b) fût un carré de Q(Rac(2)), conduisant implicitement les élèves à vérifier qu'ils avaient bien affaire à des carrés.

Il reste encore une question en suspens : si la somme de deux racines carrées de Q(Rac(2)) est rationnelle, ces racines carrées sont-elles alors dans Q(Rac(2)) ?

Mystère ...

le barbant raseur

{\it Cela répond aussi à ton interrogation, cher Barbant. On donnait le critère pour que a + Rac(b) fût un carré de Q(Rac(2)), conduisant implicitement les élèves à vérifier qu'ils avaient bien affaire à des carrés.}

Je ne suis pas sûr que ce soit ce que Gérard a voulu dire, car il parlait d'"identification non justifiée". Mais sans doute as-tu raison, et ce qu'on ne justifiait pas était le caractère $\Q$-libre de $1$ et $\sqrt{2}$.


En ce qui concerne ta question, rien n'y fait, j'ai beau dessiner des diagrammes dans tout les sens, je n'arrive pas à conclure. Maple m'a fortement convaincu que l'implication est vraie, mais... (sur ce, je me couche)

KB0

Et bien bonne nuit, cher Barbant.

Je soupçonne aussi fortement la même chose.

Quelqu'un sur le forum pour prouver la conjecture de Barbant-KB ?
Si la somme de deux racines carrées de Q(Rac(2)) est rationnelle, alors ces racines carrées sont DANS Q(Rac(2)).

Question subsidiaire : quelles généralisations possibles ?

skilveg

Je peux me tromper mais... Soient $x$ et $y$ tels que $x^2,y^2\in\Q[\sqrt{2}]$ et $x+y\in\Q\subset\Q[\sqrt{2}]$. Le cas $x=-y$ est sans intérêt. On a $x-y=\frac{x^2-y^2}{x+y}\in\Q[\sqrt{2}]$, et en prenant la somme et la différence $x,y\in\Q[\sqrt{2}]$.

Amicalement

le barbant raseur

Salut skilveg,

Je ne vois pas d'erreur. Bravo !
Même si je suis frustré de ne pas y avoir pensé moi-même :-(

skilveg a écrit:

Le cas x=-y est sans intérêt

J'ai l'impression qu'il n'est pas possible (sauf à avoir x=y=0).
Soit la fonction racine est définie sur R^+, et son image est R^+, soit elle est définie sur C privé d'une demi-droite (ou éventuellement C et on perd la continuité), mais la façon la plus naturelle de le faire me semble avoir pour image le demi-plan Re(z)>=0 (privé d'une droite ou d'une demi-droite selon l'ensemble de départ choisi). Et donc il ne me paraît pas loisible de choisir deux nombres opposés dans cette image (à part 0 et 0). Je me trompe ?

KB0

Bravo Skilveg !!! Vive toi !!!

Quant au cas x + y = 0, si x et y ne sont pas nuls, cela entraîne que -1 est un carré dans Q(Rac(2)), i.e. que i est dans Q(Rac(2)).
Contradiction.
Donc x + y = o ici entraîne x = y = 0, donc dans Q(Rac(2)) quand même.

J'espère que je n'ai pas dit d'ânerie.

le barbant raseur

KB a écrit:

Quant au cas x + y = 0, si x et y ne sont pas nuls, cela entraîne que -1 est un carré dans Q(Rac(2))

Je suis vraiment en petite forme en ce moment, car je ne vois pas pourquoi cela entraine que -1 est un carré. Peux-tu préciser ?

(en revanche, je suis tout à fait d'accord que cela implique x=y=0 car l'image de la fonction z->z^(1/2), quelle que soit la représentation du log choisie, sera un demi-plan privée d'une droite ou au mieux d'une demi droite)

KB0

Désolé, Barbant, j'ai dit n'importe quoi.

J'ai allègrement mélangé x et x^2 ...
Je suis bon pour la réforme, lol !

Sinon, la réponse est encore plus simple que je ne le pensais.

Dans la clôture algébrique de Q, x et y sont opposés et non nuls <=> ils sont les deux racines carrées distinctes d'un même élément non nul.

Donc n'importe quel élément non nul z de Q(Rac(2)) redonne, via ses racines carrées, x et y tels que x^2 et y^2 dans Q(Rac(2)) et x + y = 0, MEME SI z n'est PAS un carré dans Q(Rac(2)).

J'espère que c'est bon cette fois-ci !

le barbant raseur

Ce que tu dis me semble correct, mais la question n'est pas de trouver $x$ et $y$ tels que $x^2$ et $y^2$ soient dans $\Q(\sqrt{2})$ et $x + y = 0$ ; mais bien de trouver $z$ et $z'$ tels que $z^{\frac{1}{2}} + z'^{\frac{1}{2}} = 0$ (ou $u$ et $v$ tels que $\sqrt{u}+\sqrt{v}=0$). Ce qui n'est pas la même chose.

KB0

Sauf erreur de ma part, en notant Rac(z) UNE des deux racines carrées de z élément de la clôture de Q, Rac(z) + Rac(z') = 0 => z = z', non ?