vecteur normal à un plan

fairy

Bonjour tout le monde,

Emmanuel:

j'ai proposé d=49 pour éliminer le 49 de la première équation

a = 11 d /49

et ça a bien marché pour les autres.

A+

fairy

Salut,

(encore moi)

savez vous ou est ce que je pourrai trouver des exercices comme celui ci pour m'entrainer un peu s'il vous plait?

j'ai essayé avec le serveur des exercices sur les-mathematique et ça me donne une erreur .

merci

KB0

Bonjour à tous.

J'ai indiqué quelque part dans ce fil que le pivot de Gauss permet la résolution de n'importe quel système rectangulaire, mettons p équations à n inconnues, p et n entiers naturels non nuls, sans condition supplémentaire sur p et n.

Peut-être certains ont-ils trouvé cette affirmation péremptoire sans pour autant oser me le dire directement.

Je vais me lancer dans une argumentation, dont on verra bien si elle est juste ou non.


Tout d'abord, j'indique les opérations que je me permets sur le système.
Elles doivent être élémentaires et SURTOUT aboutir à un système EQUIVALENT.

Pour les équations, je me permettrai de
1) permuter deux lignes : Li <--> Lj,
2) diviser une ligne par un scalaire NON NUL : Li --> (1/a)Lj, a non nul,
3) retrancher à une ligne le produit d'une ligne différente par un scalaire : Li --> Li-aLj, a scalaire, i et j distincts.

Pour les inconnues je me permettrai de
4) permuter deux colonnes : Ci <--> Cj.


Je décris maintenant l'algorihtme.

a) Quitte à permuter deux lignes et deux colonnes, je suppose que le coefficient de la première inconnue à la première équation (a.1.1 matriciellement) est NON NUL.
Si c'est impossible, c'est que TOUS les coefficients sont nuls : ou bien tous les seconds membres sont nuls et alors "tout le monde" est solution, ou bien il existe un second membre non nul et alors il n'y a aucune solution.

b) Si l'on réussit à avoir le "tout premier" coefficient du système non nul, on divise la première ligne par ce coefficient.
Le nouveau "tout premier" coefficient vaut alors 1.

c) Chaque ligne suivante Li se voit retrancher la première ligne L1 multipliée par le "premier" coefficient de Li.
La première inconnue a ainsi disparu de toutes les équations sauf la première.

d) On considère le système formé des équations 2 à p et des inconnues 2 à n, et on reprend à l'étape a).


Fin de l'algorithme.

1) On a épuisé TOUTES les équations ET TOUTES les inconnues.
Nécessairement n = p.
On obtient alors un système triangulaire carré dont TOUS les coefficients diagonaux sont égaux à 1.
Il admet un unique solution. C'est le cas de "CRAMER".

2) On a épuisé TOUTES les équations SANS épuiser les inconnues.
Nécessairement n > p.
On considère alors les n-p dernières inconnues comme des PARAMETRES, et on les passe ensuite au second membre.
On obtient alors un système triangulaire carré de taille p dont TOUS les coefficients diagonaux sont égaux à 1.
Ce système admet une unique solution A PARAMETRES FIXES.
En fait, l'ensemble des solutions (un sous-espace affine de dimension n-p) est infini (si le corps de base est lui-même infini, ce qui est le cas de Q, R ou C, par exemple).

3) On a épuisé TOUTES les inconnues SANS épuiser les équations.
Nécessairement n < p.
Les n premières équations forment alors un système triangulaire carré de taille n dont TOUS les coefficients diagonaux sont égaux à 1.
Ce sous-système admet une unique solution.
Mais il reste les p-n autres équations, qui sont SANS inconnues. Elles sont du type "0=a". Si tous les seconds membres sont nuls, la précédente solution est validée, sinon elle est infirmée. Donc une ou zéro solution.

4) On n'a épuisé NI les équations NI les inconnues.
On ne peut a priori rien affirmer quant à n et p.
Par contre, on obtient un sous-système triangulaire carré, de coefficients diagonaux égaux à 1, système de taille inférieure à n et à p, notée r (le rang).
En fait, les r premières équations se ramènent au cas 2), avec r au lieu de p. De la même manière, on a une infinité de solutions (si le corps de base est infini) avec les n-r dernières inconnues comme PARAMETRES.
Mais, cette fois-ci, il reste les p-r dernières équations qui, comme dans le cas 3), sont du type "0=a". Si les seconds membres sont tous nuls, les solutions précédentes sont validées. Sinon, il n'y a aucune solution.


J'en ai fini de ce fastidieux exposé.
Quelqu'un peut-il m'en proposer une simplification et même une amélioration ?

Petit oubli : j'ai implicitement ADMIS qu'un système triangulaire carré de coefficients diagonaux égaux à 1 ("tous non nuls" suffit en fait) admet une unique solution.


Merci de votre attention.
Très cordialement.