vecteur normal à un plan

fairy

Bonjour tout le monde

J'aimerais comprendre comment trouver un vecteur normal à un plan, dans un espace 3D quand on dispose de 3 points

Teg0

Bonjour,
Ils faut que ton vecteur soit orthogonal à tes deux vecteurs de base obtenus avec tes trois points, c'est tout!!
Dans $\R^3$ l'espace euclidien classique, un vecteur qui marche est le produit vectoriel de 2 vecteurs que tu as obtenu avec tes trois points (A,B,C), genre:
$AB\wedge AC$ (désolé je ne sais pas faire la flèche sur le vecteur en LaTex).
Il faut bien sur que A,B,C ne soient pas alignés/confondus ...
Teg

fairy

merci teg pour ta réponse

après les avoir représenté, j'ai remarqué que les trois points étaient alignés,

serait il possible de créer un système d'équation pour les trois points avec l'équation du plan puis résoudre le système d'équation?

merci

KB0

Bonjour Fairy.

J'aimerais te poser des questions quant à ton énoncé afin que je puisse le comprendre.

"Créer un système d'équation pour les trois points avec l'équation du plan puis résoudre le système d'équation"

1) De quel plan s'agit-il ?
2) Que représentent géométriquement ces équations ?

Reçois mes salutations les plus cordiales.

Teg0

(re)Bonjour,
si tu as trois points alignés, alors tu n'as pas qu'un seul plan qui contient ces trois points, mais une infinité... c'est comme si tu avais juste 2 points.
Je pense donc qu'il est abusif de parler "du plan". Est tu sur qu'ils sont alignés ???
En espérant t'avoir (un peu) aidé
Teg

fairy

Bonjour KB, et merci pour ta réponse

à vrai dire, c'est un problème en infographie

dans un espace 3D on a 3 points donnés par

A=(2, 3, 1)

B=(-1, 2, 0)

C=(1, -2, 7)

la question est de trouver l'équation du plan passant par ces 3 points.

l'équation d'un plan dans un espace 3D est de la forme: aX + bY + cZ + d = 0

pour les trois point faisant partis du plan:

2X + 3Y + Z = 0
-X + 2Y = 0
X - 2Y + 7Z = 0

un système d'équation qu'on peut résoudre avec la méthode du pivot

je ne sais pas si c'est juste ou non, corrigez moi si je me trompe

merci

KB0

Re-bonjour, Fairy.

Encore quelques questions, si tu le permets.

Tu écris :
"Pour les trois point faisant partie du plan:
2X + 3Y + Z = 0
-X + 2Y = 0
X - 2Y + 7Z = 0"
Quels points ? A, B, C définis plus haut ?
Quel plan ? Pourquoi y a-t-il trois équations de plan ?

Salutations cordiales.

fairy

re KB et merci pour ta patience

j'ai mis les coordonnées des trois points données dans l'équation, puisque ces trois pont font partis du plan.

Teg0

Fairy,

je pense que tu as confondu les (a,b,c,d) et les (X,Y,Z) dans tes équations.

l'équation générale du plan est : aX + bY + cZ + d = 0.

(X,Y,Z) sont les variables de la position du point (a,b,c,d sont des constantes à déterminer). Il faut donc plutôt que tu remplace (X,Y,Z) par les coordonnées de tes points pour avoir des équations ou les inconnues sont (a,b,c,d).

Cela fait 3 équations, à 4 inconnues (apparentes) qui sont (a,b,c,d) , mais tu peux enlever/fixer une inconnue ...

Ceci dit, le produit vectoriel marche très bien ...

Et puis les points ne me semblent pas être alignés (ouf!)

Cordialement,
Teg

KB0

Re, Fairy.

"J'ai mis les coordonnées des trois points données dans l'équation, puisque ces trois pont font partie du plan."

1) J'imagine que ce sont les point A, B, C, définis par A=(2, 3, 1), B=(-1, 2, 0) et C=(1, -2, 7). Ai-je bon ?

2) "Dans l'équation" écris-tu. Laquelle ?

Cordialement.

fairy

J'imagine que ce sont les point A, B, C, définis par A=(2, 3, 1), B=(-1, 2, 0) et C=(1, -2, 7). Ai-je bon ?

oui

"Dans l'équation" écris-tu. Laquelle ? 

l'equation du plan: AX + BY + CZ + D = 0

KB0

Mettons-nous d'accord, notamment grâce aux éléments apportés par Teg (salutations et remerciements).

Nous avons trois points A, B, C dont nous connaissons les coordonnées.

Il s'agit maintenant de trouver quatre nombres fixes a, b, c, d (avec la condition a, b, c non tous nuls sinon ce n'est plus l'équation d'un plan) de sorte que les coordonnées de A, B, C vérifient l'équation ax+by+cz+d = 0.

1) Est-ce bien cela ?

2) Pourquoi ton fil s'appelle-t-il "Vecteur normal à un plan" ?

Cordialement, Fairy et Teg.

fairy

le fil s'appelle vecteur normal à un plan puisque je voulais le résoudre en trouvant un vecteur normal a ce plan

fairy

ok je crois comprendre un peu

puisque le plan p comprend A=(2, 3, 1), B=(-1, 2, 0) et C=(1, -2, 7)

2a + 3b + c + d = 0 (1);

-a + 2c + d = 0 (2);

a - 2b + 7c + d = 0 (3)

KB0

Très bien !

Tu viens d'écrire les conditions d'appartenance de tes trois points à un plan encore inconnu, et ces trois conditions te donnent, comme l'a annoncé Teg (grâce lui soit rendue), 3 équations (une par point) à 4 inconnues (les "coefficients" de l'équation du plan).

(Pour la deuxième équation, c'est -a + 2b + d = 0, et non c).

Et maintenant, il ne reste plus qu'à résoudre ce système.
En avant !

fairy

je vais le faire merci

Teg0

Oui c'est ça tes équations sont bonnes.
Maintenant il faut que tu aboutisse à un système que tu peux résoudre (tu as 4 inconnues actuellement).
Essaie par exemple de diviser tout par d (Il faut bien sur que d soit différent de 0, vérifie le)
Teg

Bruno

Je ne comprends pas. Fairy avait la bonne méthode : déterminer un vecteur normal au plan. Teg avait donné la solution : déterminer $\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}$. la mise en oeuvre est simple : le point $M$ appartient donc au plan cherché si, et seulement si le produit mixte $(\overrightarrow{AM},\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$ est nul. Cette méthode est tout à fait correcte et plutôt moins besogneuse que celle consistant à résoudre un système de trois équations à quatre inconnues. Est-ce le déterminant d'ordre $3$ ou $4$ qui rebute ?

Bruno

fairy

Bonjour Bruno, tu as peut être raison, je vais faire par les deux méthode

et pour continuer avec les équations, je vais résoudre le système avec la méthode du pivot en transformant les équations en matrice.

KB0

Chers Teg, Bruno et Fairy.


Cher Teg.
Pourquoi faire diviser par d ?


Cher Bruno.

a) Aux post n°13, Fairy indique avoir voulu dans un premier temps passer par un tel vecteur normal.
Au post n°14, Fairy tranche pour la résolution d'un système, écartant alors délibérément le "vecteur normal", sans que l'on puisse savoir si c'est par peur ou ignorance de cette méthode.

b) Dès lors, Teg et moi prenons le parti de soutenir sa démarche, parce que cela peut et doit aboutir.
Il sera toujours temps, ensuite, de relancer le "vecteur normal", de comparer les deux méthodes, puis de conclure a posteriori.

c) De ton point de vue, il est étrange de se lancer sur un système alors que le vecteur normal permet de conclure beaucoup plus vite.
Toi, tu le sais, mais il est fort possible que Fairy ne le sache pas encore. Il lui faut donc, à mon avis, faire sa propre expérience.


Cher Fairy.

a) Je t'invite à résoudre ton système comme tu l'entends, en suivant ou non la piste de Teg (division par d après vérification de sa non-nullitè).

b) Une fois l'équation du plan déterminée, Teg, Bruno et moi aurons à plaisir de te relancer sur la méthode du "vecteur normal" pour te montrer qu'elle est plus efficace.


Cordialement, chers Teg, Bruno et Fairy.

Bruno

Je pense KB que nous avons un différent d'ordre pédagogique. Comme je n'enseigne plus depuis cinq ans, cela n'a guère d'importance. En fait j'ai toujours poussé mes étudiants à persévérer dans la résolution qu'ils avaient a priori envisagée quitte, ultérieurement à analyser cette solution et à l'améliorer. Bref, au post 14, j'aurais ramené Fairy vers son idée première.

Bruno

Teg0

KB,
j'ai pensé qu'il valait mieux diviser par d (il faut vérifier que (0,0,0) n'est pas dans le plan) afin d'avoir un système 3*3 "classique" ( en (a,b,c)), mais bon il y a peut être mieux (je ne résouds pas tous les jours ce genre de système), c'est vrai que cela rajoute quelques calculs ...
J'avoue que je n'ai pas beaucoup réfléchi au sujet ...

En tout cas merci pour ton attention !!

Teg

fairy

j'ai trouvé l'équation du plan: (ABC): 9X -20Y -7Z +49 = 0

on peut la vérifier avec les points A, B mais ce n'est pas le cas avec le point C:S

j'ai travaillé avec la méthode du pivot

KB0

Chers Bruno, Teg, Fairy


Cher Bruno

1) "Je pense KB que nous avons un différend d'ordre pédagogique."
Ouais, p'tit gars. 5h du matin devant le ranch d'OK Normall !
Trêve de plaisanteries, le mot "différend", quand même !

2) "En fait j'ai toujours poussé mes étudiants de persévérer dans la résolution qu'ils avaient a priori envisagée quitte, ultérieurement à analyser cette solution et à l'améliorer."
J'imagine que moi je dois être le type qui pousse ses élèves à renoncer à toutes leurs idées. Quel liberticide je suis !
Trêve de plaisanteries, je comprends bien ton souci pédagogique. Autant aller au bout de sa première idée car, bonne ou mauvaise, son application fournira toujours des renseignements.
En ce qui me concerne, j'ai la faiblesse de laisser un élève changer de piste au milieu du gué. Notre "différend", pour l'appeler comme tu l'appelles, réside dans le choix de la priorité : intuition ou autonomie ?

3) Et là peut-être l'envie te prend-elle de me rétorquer quelque chose du genre "je n'ai jamais porté atteinte à l'autonomie d'un étudiant", comme moi je dirai que je n'ai jamais porté atteinte à l'intuition d'un élève.
Mais en fait tout est dit ! Toi, tu as eu des étudiants, moi j'ai des élèves. Les tiens ont déjà (ou sont censés avoir) l'autonomie de pensée que j'essaie d'inculquer aux miens.
Tu peux donc passer à l'étape suivante, leur demander de ne pas abuser de leur autonomie au détriment de leur intuition, bref de ne pas retourner l'arme contre eux-mêmes.

4) En fait, je ne pense pas qu'il y ait "différend" (quel mot, quand même !) mais je pense que chacun s'est laissé porté par sa pente professionnelle.
Je rappelle quand même, pour l'avoir écrit dans mon post précédent, que je n'ai pas perdu de vue l'idée de suggérer à Fairy de revenir à son "intuition première", à savoir la méthode du "vecteur normal".
Finalement, notre "différend" semble se réduire au choix du MOMENT où l'on va parler de la méthode du "vecteur normal".


Cher Teg

1) Oui, effectivement, je comprends alors l'idée.
Dans ce cas, ce que l'on peut dire à Fairy est que les systèmes se résolvent mieux en général lorsqu'ils ont autant d'équations que d'inconnues.
C'est un fait que l'on admet en général sans difficulté ni preuve, dès les classes de quatrième-troisième.

2) On peut donc pousser Fairy à mettre une inconnue de côté de cette manière, mais c'est loin d'être la seule méthode.
Celle traditionnellement enseignée en lycée et en L1 est de considérer les inconnues surnuméraires comme des paramètres, et donc d'exprimer les autres inconnues en fonction d'elles.
On pourrait donc proposer à Fairy de considérer dans un premier temps d comme un paramètre et non une inconnue.

3) Mais Fairy est passé outre ces considérations, cher Teg.
En effet, Fairy a décidé d'appliquer le pivot de Gauss, méthode qui s'applique même si le nombre d'inconnues ne coïncide pas avec le nombre d'équations.
Avec p équations à n inconnues, le pivot de Gauss se ramène à un système triangulaire strict (kesako ?) de r équations à r inconnues (r inférieur ou égal à p et à n), avec les n-r autres inconnues comme paramètres et les p-r autres équations comme "conditions de compatibilité" (r est le RANG du système, bien sûr).

4) Bref, dès lors que Fairy a décidé d'utilser le pivot de Gauss, aucune astuce n'est utile, l'algorithme de résolution ira de lui-même à son terme.


Cher Fairy

1) Si ta réponse ne marche pas avec le point C, c'est qu'elle est (partiellement) fausse. Reprends donc tes calculs ou, au pire, utilise un programme appliquant le pivot de Gauss (mais ce n'est pas du jeu).

2) En quoi obtenir une équation du type ax + by + cz + d = 0 respectée par les coordonnées des points A, B, C te garantit-il d'avoir répondu à l'exercice ?
(Je sais, je suis un maniaque des réciproques, même quand elles sont triviales. Comme je l'ai dit à Bruno, je suis ma pente professionnelle).

3) Une fois tout cela résolu ainsi, il te faudra t'attaquer à une autre résolution, celle envisagée par le titre même de ton fil.


Cordialement, chers Bruno, Teg, Fairy.

fairy

Bonsoir

Je viens de trouver la solution
2a + 3b + c + d = 0     ligne pivot
-a + 2b + d = 0
a - 2b + 7c + d = 0

2a + 3b + c + d = 0
7b + c + 3d = 0
7b - 13c - d = 0

-14/3 a - 4/3 c + 2/3 d = 0
7b + c + 3d = 0
14c + 4d = 0

-49a + 11d = 0
-98b - 38d = 0
14c + 4d = 0

a = 11 d /49
b = - 38 d / 98
d = - 4 d / 14

pour d = 49;
a = 11
b = -19
c = -14
alors l'équation du plan :   11X - 19Y - 14Z + 49 = 0

vérification:
11(2) - 19 (3) - 14 (1) + 49 = 0
11(-1) - 19 (2) - 14 (0) + 49 = 0
11(1) - 19 (-2) - 14 (7) + 49 = 0

Yersinia Pestis

Bien l'bonjour,

que j'comprends pas bien la méthode du pivot ci-dessus... mais bon, m'est d'avis qu'y aurait ben un truc qui colle pas...

L'résultat l'est bon et qu'on pouvait aussi l'trouver en calculant les coordonnées de trrois vecteurs indépendants :
$AM(x-2;y-3;z-1)$ avec $M(x,y,z)$ un point du plan
$AB(-3,-1,-1)$
$AC(-1,-5,6)$

pi que l'det de ces trois lascars doit ben ête nul (vu qu'y sont indépendants) :
ch'ai point écrire un determinant avec le caoutchouc... mais bon ça donne ça l'calcul :

$(x-2)(-1)(6)+15(z-1)+(y-3)-[-3(y-3)(6)+(x-2)(-5)(-1)+(1)(z-1)]=0$

et qu'ça calcule ben facile, et qu'on arrrive à :

$11x-19y-14z+49=0$

et qu'c'est ben que ce que fairy l'a trrrouvé aussi.

Bon c'est pas l'tout, c'est qu'y a encore du foin à rentrer, pis qu'est-ce pas ben l'beau temps... qu'on s'croirait au mois novemb'... Pourtant d'après les esperts du GIEC ça r'échauffe... va comprendre Charles!
Mais que j'vous souhaite bonne journée quand même!

Père Gustave à Montvachoux en Combrailles

Bruno

Bonjour KB.

1° Désolé que le mot "différend" paraisse te choquer, différend, désaccord, disons "il y a comme des nuances" entre nous ...
2° A chacun ses pratiques, cela fait partie des charmes de l'irem de pouvoir faire des comparaisons ; loin de moi l'idée de te considérer comme liberticide, même ironiquement.
3° Je ne saurais assurer que je n'ai jamais porté atteinte à "l'autonomie d'un élève/étudiant" et n'en fais donc pas état.

Bruno

Yersinia Pestis

De dieu, v'la t-y pas que j'suis bourré dès l'matin!!

Faut lire qu'ils sont DEPENDANTS les vecteurs (vu qu'y sont coplanaires)

Père Gustave

KB0

Bonjour à tous.

J'ai bien pris note, cher Bruno, de ton dernier post.
Je reconnais avoir à tendance à râler facilement, mais n'y vois rien de mal.
A propos, qu'est-ce que l'IREM ?

Cher Fairy, après cette brillante utilisation du pivot de Gauss, il faut maintenant s'atteler à la méthode dite du "vecteur normal".
A propos, Père Gustave (que je salue), a proposé une méthode tout à fait efficace, que tu pourrais bien reprendre à ton compte.

Salutations à tous, très cordialement.

fairy

Merci Yersinia Pestis

Merci KB

j'ai repris la première idée en utilisant les vecteurs

A=(2, 3, 1)
B=(-1, 2, 0)
C=(1, -2, 7)

->
AB = -3 -1 -1


->
AC = -1 -5 6

-> ->
AB ^ AC = -11 19 14

prenant le point C (pour trouver d)

-11x + 19 y + 14z + d = 0

-11 (1) + 19 (-2) + 14 (7) + d = 0

d=-49

l'équation du plan

-11x + 19y + 14z - 49 = 0

vérifié pour les 2 autres points

KB0

Salut Fairy.

C'est de loin la méthode la plus courte.

Cordialement.

Yersinia Pestis

Bonsoir,

Un tout petit peu de sérieux...

Je ne vois pas comment résoudre ce système par le pivot de Gauss, et il me semble que l'utilisation de la sus-dite méthode n'est pas si brillante que ça :

{\bf KB}, peux-tu m'expliquer comment on passe de :
$-49a+11d=0$
$-98b-38d=0$
$14c+4d=0$
à
$a=11d/49$
$b=38d/98$
$d=-4d/14$
dernière ligne : ???

{\bf Pour Fairy} :
la méthode que j'ai utilisée est une application de ce qu'a dit Bruno :

1°) Calculer : $\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}$.
permet de trouver un vecteur normal au plan (soit $\overrightarrow{U}$ ce vecteur.

2°) $\overrightarrow{U}$ étant normal au plan et $\overrightarrow{AM}$ appartenant à ce plan, on a : $\overrightarrow{U}.\overrightarrow{AM}=0$

Ces deux opérations se font en une fois en calculant le déterminant :
$$\begin{vmatrix}
x-2 & -3 & -1 \\
y-3 & -1 & -5 \\
z-1 & -1 & 6
\end{vmatrix} = 0$$
et en écrivant que ce déterminant est nul.

Prions pour que mon Latex soit bon!!
A+
Emmanuel

fairy

Merci Yersinia Pestis

Merci KB

j'ai repris la première idée en utilisant les vecteurs

A=(2, 3, 1)
B=(-1, 2, 0)
C=(1, -2, 7)

->
AB = -3 -1 -1


->
AC = -1 -5 6

-> ->
AB ^ AC = -11 19 14

prenant le point C (pour trouver d)

-11x + 19 y + 14z + d = 0

-11 (1) + 19 (-2) + 14 (7) + d = 0

d=-49

l'équation du plan

-11x + 19y + 14z - 49 = 0

vérifié pour les 2 autres points

Yersinia Pestis

merdouille... latex ne tient pas compte des espaces!

quelqu'un pourrait-il avoir la gentillesse de corriger mon det :
x-2 -3 -1
y-3 -1 -5
z-1 -1 6
Pour Fairy : oui ta méthode est très simple et très rapide et... bonne!! Bravo!
A+
Emmanuel

[J'ai réparé ton LaTeX. Pour un déterminant $\begin{vmatrix} ... \end{vmatrix}. AD]

Yersinia Pestis

merci beaucoup Alain!

"que serai-je sans toooiii... que ce balbutiement (de Latex...)" adapté de J Ferrat

KB0

Salut à Tous.


Cher Gustave

1) J'ai bien compris que déterminant 3x3 / produit mixte / produit vectoriel, tout cela est du même tonneau.

2) "49a + 11d = 0
-98b - 38d = 0
14c + 4d = 0
<=>
a = 11 d /49
b = - 38 d / 98
d = - 4 d / 14"

a) C'est Fairy qui l'a écrit, moi j'ai juste approuvé.
Il serait fair-play de demander à Fairy en premier.
b) Je ne suis pas choqué par ce qu'a écrit Fairy, qui résout des équations de premier degré de paramètre d.


Cher Fairy.
Encore bravo !


Avec mes sentiments les plus cordiaux.

Yersinia Pestis

Bonjour,

pour KB :

1°) l'explication avec calcul du déterminant était pour Fairy.


2°) résolution du système :

dernière ligne :
14c + 4d = 0 <=> d = -4d/14

Pas choqué... ah bon???? Bon, bon, bon... mais alors faut m'expliquer, parce que franchement ça ça m'intéresse!!!

A+

Emmanuel

fairy

Salut à tous,

Cher Fairy.
Encore bravo !

Merci KB

Emmanuel: j'ai utilisé la méthode du pivot de gauss que tu pourras trouver ici

mais je peux t'expliquer comment je suis passée de :

-49a + 11d = 0
-98b - 38d = 0
14c + 4d = 0

à

a = 11 d /49
b = - 38 d / 98
d = - 4 d / 14

-49a + 11d = 0 <=> 49a = - 11d <=> a = 11 d /49
-98b - 38d = 0 <=> 98b = -38d <=> b = - 38 d / 98
14c + 4d = 0 <=> 14c = -4d <=> d = - 4 d / 14

j'espère que c'est plus clair maintenant, je crois que c'est on écriture qui est mauvaise.

Bruno

Arrêtez de tourner autour du pot, c'est [size=large]c[/size] = -4d/14 qu'il faut lire .

Bruno

Teg0

Fairy,

je pense qu'il te reproche juste une erreur d'étourderie:

c'est c = - 4 d / 14 (tu as mis d à gauche)

Teg

Sylvain

Yersinia Pestis a écrit:

De dieu, v'la t-y pas que j'suis bourré dès l'matin!!

Faut lire qu'ils sont DEPENDANTS les vecteurs (vu qu'y sont coplanaires)

Père Gustave

Quand jeu'l'dis qu'la niaule ça vous ramuge eul ciboulot ! T'f'rais ben mieux d'bè du thé vert comme mè eun fè déjuqué mon gars, è c'que j'dis mè !

Eul Pé Firmin d'la bouse qui r'mugle:D

Yersinia Pestis

Bonjour Bruno, Teg et Fairy,

bien évidemment c'est c=-4d/14; c'est pas vraiment ça qui m'ennuie, c'est la suite! Car du coup le système ne me semble pas "soluble dans le pivot"...

Bruno ou Teg, est-ce que je me trompe?

D'ailleurs, sauf cas particuliers (du genre : en additionnant deux lignes, hop il y a 2 inconnues qui sautent) peut-on résoudre un système à 4 inconnues en ayant 3 équations au départ? Si mes souvenirs sont bons la réponse est : "non"...

D'avance, merci pour vos éclaircissements

Emmanuel

Bruno

Bonjour Yersinia Pestis.

On peut toujours résoudre un système qui a plus d'inconnues que d'équations. On isole des inconnues appelées non principales et qui servent de paramètres. La méthode "bourrin" est la suivante : si tu as p équations à m (p < m) inconnues, tu détermines le rang du système qui est r ≤ p et tu détermines un système de r équations appelées équations principales ; cela se ramène à extraire un déterminant D d'ordre r non nul de la matrice du système. On sait qu'il en existe un puisque r est le rang de la matrice. Comme un déterminant, c'est un tableau carré, il y r inconnues dont les coefficients figurent dans D ; ce sont les fameuses inconnues principales. Ce qui concerne les m - r autres inconnues, est passé dans les second membre et l'on est ramené à résoudre un système de Cramer à r équations, r inconnues et m - r paramètres.

Puisque la théorie assure que le système a des solutions, je présume que le pivot de Gauss permet de les trouver de façons plus économique.

C'est le cas où il y a plus d'équations que d'inconnues qui pose problème, car si le rang du système d'équation est supérieur au nombre d'inconnues, on ne peut résoudre le système. Le pivot de Gauss introduit alors une relation du type "0 = a" que l'on ne peut évidemment réaliser.

Bruno

Sylvain

Bruno a écrit:

On peut toujours résoudre un système qui a plus d'inconnues que d'équations.

Bruno a écrit:

C'est le cas où il y a plus d'inconnues que d'équations qui pose problème, car si le rang du système d'équation est supérieur au nombre d'inconnues, on ne peut résoudre le système. Le pivot de Gauss introduit alors une relation du type "0 = a" que l'on ne peut évidemment réaliser.

Ce n'est pas un tantinet contradictoire ??:S

[Tu as parfaitement raison ! J'ai modifié mon texte . Bruno]

KB0

Bonsoir à tous.

Cher Bruno, je ne suis pas d'accord avec tout ce que tu dis, bien que ce soit tout de même très judicieux.


En fait, dans un système de p équations à m inconnues, pour reprendre tes notations, le rang r est inférieur ou égal à p ET à m.

Effectivement, on a bien r inconnues principales et m-r inconnues auxiliaires (les "paramètres").

Mais un travail analogue ("dual") s'engage aussi sur les équations : on a r équations principales et p-r équations auxiliaires, que j'ai dû apprendre sous le nom d'équations de "compatibilité", du type, comme tu l'as très bien dit, "0=a".

En fait, peu importe s'il y a plus d'inconnues que d'équations ou vice-versa.
De toute façon, on compare ces deux nombres par rapport au rang r, inférieur à ces deux nombres.

Si r < m ET r < p, on A LA FOIS des inconnues auxiliaires (m-r > 0) ET des équations de compatibilité (p-r > 0).

Ce qui peut être intéressant, c'est d'étudier les cas particuliers r=p<m et r=m<p.

Dans le cas r = p < m, effectivement, il n'y a pas d'équation de compatibilité (p-r = 0) et il y a plus d'inconnues que d'équations.
On ne risque pas de tomber sur des problèmes de compatibilité du type "0=a".

Dans le cas r = m < p, il n'y a plus aucune inconnue auxiliaire (m-r=0) et il y a plus d'équations que d'inconnues.
Dans ce cas, les p-m = p-r équations de compatibilité risquent toutes de poser problème.

Evidemment, on ne peut pas passer sous silence le cas m=p=r, qui est le cas dit de "Cramer", avec une et une seule solution.

Le cas général, p équations et m inconnues, peut se résoudre comme suit :
1) trouver un sous-système maximal de Cramer, système carré "inversible" de taille r le RANG,
2) exprimer, dans les r équations de Cramer, les m-r inconnues auxiliaires comme PARAMETRES,
3) résoudre le système de Cramer, en exprimant les inconnues principales en fonction des inconnues auxiliaires,
4) Vérifier ou infirmer les équations de compatibilité.

En réalité, on peut vérifier la compatibilité ou non des p-r équations AVANT même de résoudre le système de Cramer.
C'est le principe des "déterminants bordants", sur lequel je ne m'étendrai pas.


Quant au pivot de Gauss dans le cas général, sa résolution "algorithmique" aboutit à un système triangulaire carré strict (coefficients diagonaux non nuls ou normalisés) jusqu'à la r-ième équation incluse.
Au-dela, le système ne se triangularise plus, les m-r autres inconnues et elles seules apparaissent dans les p-r équations restantes.

En fait, c'est une démonstration possible, HORS DETERMINANT, du théorème général des systèmes évoqué juste avant (théorème de "Rouché-Fontené").


Bien à vous, cher Bruno.
Salutations cordiales à tous.

P.S. Cher Emmanuel, je connais mon alphabet par coeur.
a,b,d,d,e,f,g,h, ...

Bruno

Tu as raison KB, j'ai raisonné dans le cas $r = p < m$ !

Bruno

KB0

Allez, 3 Avez et 2 Hilbert, ego te absurdo !

Yersinia Pestis

Bonjour,

merci bcp Bruno pour ton explication, même si je n'ai pas tout compris, loin de là... mon niveau en maths ne me le permet pas.


Le pb n'est pas là d'ailleurs, il est double :

1°) on laisse une personnes (fairy) écrire quelque chose de faux... et c'est pas qu'un simple pb d'étourderie, puisqu'on se retrouve bloqué dans la résolution du système! Imaginez la tête du prof si Fairy est envoyé au tableau et résoud l'exercice par sa méthode du pivot... et, pire encore, s'il rétorque "sur "les mathématiques.net" on m'a dit que c'était bon"...

2°) je veux bien que l'on puisse toujours résoudre un système, même s'il y a plus d'inconnues que d'équations, bon soit on fixe une inconnue (mais là c'est plus une résolution à partir uniquement du système puisqu'on introduit un nouveau paramètre... pratique courante en physique-chimie), soit on a un système avec des coeficients particuliers qui s'annulent en les combinant habilement, ex :

x+2y+z+d=1
x-2y+z-d=-1
x-2y+z-5d=5

soit encore on arrive à un ensemble de solutions infini.


Le pb ici est qu'il s'agit de l'équation d'un plan avec 3 points donnés appartenant à ce plan, on doit donc trouver un ensemble fini (avec les 4 inconnues fixées (si je puis dire)). Personnellement je n'y suis pas arrivé, mais peut-être n'ai-je pas l'habileté nécessaire.

KB a dit que l'algorithme de résolution irait de lui-même àson terme (cf post du 14/08 à 21h00), moi je veux bien, mais alors qu'il fasse effectivement la résolution. Il ne s'agit pas pour moi de savoir qui à tort ou qui a raison, mais simplement de voir comment on fait, et ce de façon à enrichir mes connaissances, c'est tout.

A+

Emmanuel

fairy

Bonsoir à vous,

je m'excuse pour cette absence

c'est vrai, je me suis trompé à propos du c quand je l'ai mis d

mais je ne vois pas en quoi la méthode du pivot de gauss que j'ai appliqué sur mon système d'équations est-elle fausse.

Teg0

Bonsoir!
je suis d'accord avec fairy, pour moi seule l'erreur d'étourderie clochait (contrairement à ce qu'a dit emmanuel, on n'est pas bloqué dans le système).

Emmanuel:
Justement non, un système n'est pas toujours résoluble (tu peux trouver un ensemble des solutions vides)!!
De plus le fait que tes solutions dépendent de d font que ton ensemble est forcément infini (ie tu peux multiplier tes équations par un scalaire non nul ça ne change rien, si j'ai bien compris le sens de ta remarque).

Bonne nuit à tous
Teg

Yersinia Pestis

Bonjour,

merci à Fairy et à Teg d'avoir répondu.

En écrivant ma réponse (que j'ai effacée), je viens de me rendre compte qu'effectivement ça marche parfaitement!
A partir du moment où a, b et c sont toutes exprimées en fonction de d, il suffit de donner une valeur à d...
Ce qui au fond m'a troublé c'est que Fairy ait trouvé aussi vite d=49, et surtout j'ai pensé qu'il avait trouvé la valeur de d à partir de la dernière équation qui comportant une erreur de frappe (d=-4d/14).

encore merci Teg, c'est peut-être "multiplication par un scalaire non nul" qui a fait tilt!

A+

Emmanuel