injection de L^2 dans C^o

Rouliane

Bonsoir,

Je ne me souviens plus comment on montre que l'injection de L² dans C^o est continue ?
Est ce la même méthode que pour montrer que l'injection de H¹ dans C^o est continue ?

Merci

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En fait, L² ne s'injecte pas dans C⁰, donc... x-->x^-1/4 est dans L²(0,1), par exemple.

Rouliane

il me semble que L²(\Omega) s'injecte dans C^o(\bar{\Omega}), non ? (j'avais oublié le "barre", désolé )

Remarque0

Ben non. Dans L², tu as des fonctions discontinues, des fonctions non bornées, toutes choses qui ne sont pas dans C⁰. L² est un espace qui est beaucoup, beaucoup plus gros que C⁰. Par contre C⁰(compact) s'injecte dans L².

Rouliane

ah mais oui, j'ai confondu, merci !

C'est l'injection de Co(compact) dans L², qui est pas difficile à montrer il me semble

Rouliane

d'ailleurs on peut pas mêem montrer que l'injection de L² dans Co(borné) est continue ?
en majorant la norme L² par MxK où K dépend du borné et M est le sup de la fonction sur l'ouvert ?
Je vois pas pourquoi on a besoin de la compacité ?

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Oui à ton message de 22:34, non à celui de 22:36. D'abord s'il y avait une injection, elle serait dans l'autre sens. Ensuite, il n'y en a pas car $C^0(\Omega)$ avec $\Omega$ ouvert même borné n'est pas un evn. Une fonction continue sur un ouvert n'a aucune raison d'y être bornée : $x\mapsto 1/x$ appartient à $C^0(]0,1[)$ mais n'est certainement pas dans $L^2(0,1)$.

Rouliane

oui, excuse moi je me suis encore trompé de sens, je voulais dire l'injection de Co(borné) dans L² ...

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Oui mais même, je me répète un peu mais $C^0(\Omega)$ avec $\Omega$ ouvert de $\R^n$ ne s'injecte jamais dans $L^2(\Omega)$. Tu peux construire une fonction qui est continue dans un ouvert mais qui croît suffisamment rapidement quand tu t'approches du bord de l'ouvert pour qu'aucune de ses puissances ne soit intégrable, cf. le petit exemple que j'ai donné plus haut dans le cas $L^2$. Remplace $1/x$ par $e^{1/x}$ pour avoir quelqu'un de continu sur $]0,1[$ mais dans aucun $L^p$.

La compacité intervient pour que les fonctions considérées soient bornées (et pour qu'on ait affaire à un evn). Le maximum de généralité dans cette direction est de considérer l'espace $C^0_b(\Omega)$ des fonctions continues bornées sur $\Omega$ (lui est un evn) qui s'injecte dans $L^2(\Omega)$ si et seulement si $\Omega$ est de mesure finie. Avec injection continue bien sûr.

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Oui en fait l'exponentielle, c'est de l'overkill, $1/x$ n'est déjà dans aucun $L^p$...

Rouliane

ok, merci.

en fait je voulais utiliser seulement un borné et dire que la norme L² de f est inférieur à MxK où M est le sup de f sur le borné, mais pour parler de norme infinie il faut que je sois sur un compact afin d'avoir un EVN, donc ça marche pas.

C'est bien ça en gros ?

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Oui, c'est ça. Tu seras toujours plus tranquille sur $C^0(K)$ avec $K$ compact.