Théorème de Riesz - unicité

Rouliane

Bonsoir,

J'ai un petit souci pour la démo du théorème de Riesz suivant :

Soit H un Hilbert, et L une forme linéaire continue sur H. Il existe un unique u appartenant à H tel que :

pour tout v dans H, L(v)=(u,v) (*)


J'ai commencé par montré l'unicité, mais j'ai un doute.
Si je considère u1 et u2 je veux montrer que u1=u2.
En remplaçant dans (*) j'arrive à (u₁-u₂,v)=0 , ce qui équivaut à u₁-u₂ appartient à H orthogonal.
Or H orthogonal ne contient que le vecteur nul ( car H est l'espace "tout entier" ) donc u1=u2.

Est ce bien ça ?

aléa

Oui, quand on est orthogonal à l'espace tout entier, on est orthogonal à soi-même, donc on est de norme nulle, donc on est nul.

Rouliane

ok, merci !

leslie2

Maintenant, il te reste l'existence !

A propos de l'unicité, ne t'inquiète pas : c'est une pure et simple hypothèse qui fait partie de la def des Hilbert que si $<x,x> = 0$ alors $x=0$. Il est normal que tu aies tremblé.

Pour l'existence, n'oublie pas de supposer que ta forme linéaire est continue.

leslie2

Pour le plaisir: soit $f$ une forme linéaire continue de $H$ dans $K$ ($\R$ ou $\C$?).

Soit $E$ un sous-espace vectoriel de $H$ de dimension fini, contenant tous les vecteurs standards de $H$. Soit $u\in E$ tel que $<u,v>=f(v)$ pour tout $v\in E$.

Soit $w$ un vecteur standard qui est superproche de $u$. La continuité de $f$ assure que $w$ est tel que pour tout $v$ standard de $H$, $<w,v>=f(v)$, et donc CQFD

Il reste à s'assurer que $w$ existe. Soit donc $(e_i)_{i\in I}$ une base hilbertienne de $H$. Comme $t_i=_{def}<u,e_i>=f(e_i)$ pour tout $i\in I$ standard, il n'y a plus qu'à s'assurer que la somme des carrés des modules des $t_i$ converge.